直積集合
(デカルト積 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 18:27 UTC 版)
数学において、集合のデカルト積（デカルトせき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
注釈
- ^ a b 添字集合 Λ が空集合の場合、圏論においては任意の一元集合 1 が集合の圏の零対象として（同型を除いて）唯一存在するから、∏∅X = 1 (X は任意) とすることで空積に意味を持たせることができる（点付き集合の圏で基点 ∗ を固定するならば、より強く 1 = {∗} ととれる）。また、集合論においては標準的に 0 = ∅, 1 = {∅} ととれるから、その意味において X0 = 1 と置くことは Map(∅, X) = {∅}（右辺はすなわち空写像）と考えることにより、ここでの定義と矛盾しない（集合をその冪集合によって同定し部分集合の意味で基点 ∅ が付随すると考えるならば、点付き集合としての話とみることもできる）。
出典
[続きの解説]
デカルト積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 06:12 UTC 版)
デカルト積はしばしば結合的と見ることができる： ( E × F ) × G = E × ( F × G ) = E × F × G . {\displaystyle (E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G.} これはもちろん厳密には正しくない。x ∈ E, y ∈ F, z ∈ G とすると、等式 ((x, y), z) = (x, (y, z)) は (x, y) = x, z = (y, z) を意味することになってしまい、また等式 ((x, y), z) = (x, y, z) は無意味である。 この概念は圏論において自然同型の概念を用いて厳密にできる。
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