コーシー積とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

コーシー積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/01 09:56 UTC 版)

初等解析学におけるコーシー積（コーシーせき、英: Cauchy product）は、二つの無限級数に対する離散的な畳み込み積である。名称はフランス人数学者のオーギュスタン・ルイ・コーシーに因む。

^ 例えば二つの数列を $(1, 2, 2, 2, 2, \dots)$ と $(1, -2, 2, -2, 2, \dots)$ とすれば、各々の級数は発散するが、それらのコーシー積は零列の和で絶対収束である^[9]。
^ 例えば、一般項が $a n = b n = (-1) n / \sqrt n + 1$ なる交代級数の場合を考えれば、これらは条件収束するが絶対収束しない（絶対値をとったものは調和級数との比較判定法によって発散することが確かめられる）。他方これらのコーシー積は、和の一般項が $0$ に収束しないから、項判定法（英語版）により収束しない。^[13]

^ Canuto & Tabacco 2015, p. 20.
^ Bloch 2011, p. 463.
^ Canuto & Tabacco 2015, p. 53.
^ Mathonline, Cauchy Product of Power Series.
^ Weisstein, Cauchy Product.
^ 高木 1983, p. 146.
^ 高木 1983, pp. 146–147.
^ 高木 1983, pp. 147, 185.
^ Denlinger, p. 492.
^ Knopp 1954, p. 321.
^ Queffélec & Zuily 2013, p. 199, バナッハ–シュタインハウスの定理（フランス語版、英語版）の直接の帰結として
^ Hardy 1973, remarque p. 228; Theorem I p. 43-46, 正則な線型総和法の一般性質を用いた（長いが初等的な）証明がある（シルバーマン–テープリッツの定理（英語版）の項も参照）
^ Denlinger 2011, p. 489; Knopp 1954, p. 148.
^ Knopp 1954, p. 488, さらなる整数 $α, β$ に対して示している
^ Hobson 1926, p. 76, 一般の場合を示している: 特定の場合はチェザロ, 一般の場合はクノップによる.
^ Chapman 1911, p. 378, の簡明な証明から従う.
^ Andersen 1918, p. 23.

「コーシー積」の続きの解説一覧

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「絶対収束」の記事における「コーシー積」の解説

詳細は「コーシー積」を参照実または複素数を項とする二つの収束級数 ∑ n = 1 ∞ a n , ∑ n = 1 ∞ b n {\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\quad \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} のコーシー積とは、各級数の係数列の畳み込み c n = ∑ k = 1 n a k b n − k {\textstyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k}} を項として定まる級数 ∑cn である。これは少なくともどちらか一方が絶対収束するならば、各級数の収束値の積に収束する。定理 ∑ n = 1 ∞ a n = A , ∑ n = 1 ∞ b n = B {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=A,\quad \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=B} であるとき、その少なくとも一方が絶対収束ならば ∑ n = 1 ∞ c n = A B {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}=AB} が成立する。

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「コーシー積」を含む「絶対収束」の記事については、「絶対収束」の概要を参照ください。

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