なめらかな多様体の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:22 UTC 版)
M, N ともになめらかな多様体で 、f がなめらかな写像であった場合、 deg f を上の定義とは違う方法で計算できる。 M, N はコンパクトな多様体であるので、 任意の f の正則値 y について、 y の逆像 f -1(y) は有限集合である。よって、正則値 y に対して整数 d ( y ) := ∑ x ∈ f − 1 ( y ) sign d f x {\displaystyle d(y):=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\operatorname {sign} df_{x}} を定義することができる。ただし、dfx は f の x における微分、 sign dfx は dfx （を行列としてみたとき）の行列式の符号である。 このように定義すると、 任意の正則値 y について d(y) は deg f と等しい。
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