準フロベニウスリー代数 非退化不変歪対称双線型形式を持った pre-Lie algebra との同値性

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準フロベニウスリー代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/07 08:00 UTC 版)

非退化不変歪対称双線型形式を持った pre-Lie algebra との同値性

$({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )$ が準フロベニウスリー代数であれば、${\mathfrak {g}}$ 上に別の双線型積 $\triangleleft$ を

$\beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)=\beta \left(Z\triangleleft Y,X\right)$

によって定義できる。

すると$\left[X,Y\right]=X\triangleleft Y-Y\triangleleft X$ が成り立ち、

$({\mathfrak {g}},\triangleleft )$

は pre-Lie algebra である。