力学的エネルギー 力学的エネルギーの散逸

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力学的エネルギー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/07 04:23 UTC 版)

力学的エネルギーの散逸

保存力でない力を非保存力という。非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存しない。 具体的な非保存力の例は、

動摩擦力

$-\mu {\hat {\boldsymbol {v}}}$

粘性抵抗力

$-\gamma {\boldsymbol {v}}=-\gamma v{\hat {\boldsymbol {v}}}$

慣性抵抗力

$-\beta v{\boldsymbol {v}}=-\beta v^{2}{\hat {\boldsymbol {v}}}$

ただし、$v=\left|{\boldsymbol {v}}\right|$、${\hat {\boldsymbol {v}}}={\boldsymbol {v}}/v$である。

一般に非保存力fは$(f(v)>0)$として、

${\boldsymbol {f}}=-f(v)\,{\hat {\boldsymbol {v}}}$

と表される。

運動方程式

$m{\dot {\boldsymbol {v}}}=-\nabla U+{\boldsymbol {f}}$

である。 この式の両辺に速度をかけると、

${\begin{aligned}m{\dot {\boldsymbol {v}}}\cdot {\boldsymbol {v}}&=-(\nabla U)\cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)&=-{\frac {dU}{dt}}-f(v)v\\{\frac {d}{dt}}E&=-f(v)v\end{aligned}}$

力学的エネルギーの時間変化率は、$-f(v)\,v$である。非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは必ず減少する。 非保存力により力学的エネルギーが減少することを散逸という。