九十六角形 九十六角形の概要

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九十六角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/15 07:50 UTC 版)

正九十六角形

正九十六角形

正九十六角形においては、中心角と外角は3.75°で、内角は176.25°となる。一辺の長さが a の正九十六角形の面積 S は

$S={\frac {96}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{96}}\simeq 733.12416a^{2}$

${\begin{aligned}S=&24a^{2}\cot {\frac {\pi }{96}}\\=&24a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}+{\sqrt {16+8{\sqrt {3}}+2{\sqrt {104+60{\sqrt {3}}}}}}+{\sqrt {32+16{\sqrt {3}}+4{\sqrt {104+60{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt {848+488{\sqrt {3}}+2(31+16{\sqrt {3}}){\sqrt {104+60{\sqrt {3}}}}}}}}\right)\\=&24a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}+{\sqrt {16+8{\sqrt {3}}+2{\sqrt {104+60{\sqrt {3}}}}}}+{\sqrt {32+16{\sqrt {3}}+4{\sqrt {104+60{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt {848+488{\sqrt {3}}+2{\sqrt {358376+206908{\sqrt {3}}}}}}}}\right).\end{aligned}}$

$\cos(2\pi /96)$を有理数と平方根で表すことが可能である。

$\cos {\frac {2\pi }{96}}=\cos {\frac {\pi }{48}}=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}$

正九十六角形の作図

正九十六角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。