整数比

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有理数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/07/01 03:49 UTC 版)

有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。有理数全体の集合を示す記号は Qが使用される。

概要

有理数は（十進法などの）位取り記数法で小数表示すると有限小数または循環小数のいずれかとなる（どちらになるかは基数に依存する。ある基数で有限小数となる有理数が別の基数では循環小数となること、あるいはその逆になることはある）。また、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。

有理数全体からなる集合はしばしば、太字の Q で表す。これは、イタリア人数学者のペアノによって1895年に最初に表された、商（英: quotient）を意味するイタリア語: quoziente の頭文字に由来する。手書きなどの際には、黒板太字と言われる書体を用いた $\mathbb {Q}$

各直線（の整数点）がそれぞれ1つの同値類（すなわち有理数）に対応する。どの直線も原点は含まないが、原点をはさんだ反対側は同じ同値類である（図では同じ色で塗ることでそれを表している）。

集合論の形式により、整数全体 Z から有理数全体 Q を構成することができる。まず整数の順序対 (a, b) で b ≠ 0 であるものの全体 E = Z ×(Z − {0}) を考える。ここで E 上の関係 ∼ を

$(a,b)\sim (c,d)\iff ad-bc=0\quad (a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,b\neq 0,d\neq 0)$

有理数の数え上げの一例を図示したもの。やり方は他にもいろいろあるが、いずれにせよ有理数の可算性が分かる。

基本性質

既に述べたように、有理数全体は、通常の四則演算の下で体を成し、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる。また、有理整数環 Z の商体である。加えて、有理数体 Q は標数 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の素体と呼ばれる（すなわち、標数 0 の体は、Q に同型な部分体を含む）。Q の拡大体は一般に代数体、その元は代数的数と呼ばれ、特に代数的数全体は体を成し Q の代数的閉包 A（Q とも書く）となる。

この「標数 0 の素体」という代数的性質は、有理数体 $\mathbb {Q}$

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• 無理数
• 大域体

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (英語).

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「整数比」の例文・使い方・用例・文例

• 音階中の各音の音程を簡単な整数比に保ち和音が完全に融合するようにした音律
• 音階中の各音の音程を簡単な整数比に保ち,和音が完全に融合するようにした音律