偏微分方程式
| 微分方程式 |
|---|
 |
| 分類 |
| 解 |
偏微分方程式（へんびぶんほうていしき、英: partial differential equation, PDE）は、未知関数の偏導関数を含む微分方程式である。
概要
微分方程式は通常多くの解をもち、しばしば解集合を制限する境界条件を付加して考える。常微分方程式の場合にはそれぞれの解がいくつかのパラメータの値によって特徴付けられるような族を解としてもっているが、偏微分方程式については、パラメータは関数値をとると考えるほうが有用である。このことは、過剰決定的な方程式系でない限りは概ね正しいといえる。
偏微分方程式は、自然科学の分野で流体や重力場、電磁場といった場に関する自然現象を記述するモデルとして現れる。これらの場というものは例えば、フライトシミュレーションやコンピュータグラフィックス、あるいは天気予報などを扱うために重要な役割を果たす道具である。また、一般相対性理論や量子力学の基本的な方程式も偏微分方程式である。また、経済学においても重要な概念であり、特に金融工学において多用される。
記法
以下では未知関数 ψ の変数 x に関する偏微分を ψx のように表す：
ウィキメディア・コモンズには、偏微分方程式に関連するカテゴリがあります。
関連分野
研究者
日本
海外
脚注
- ^ R. Courant, D. Hilbert, Methoden Der Mathematischen Physik , R. クーラン, D. ヒルベルト (著), 丸山 滋弥, 斎藤 利弥 (翻訳)『数理物理学の方法』東京図書
- ^ 恒藤敏彦『弾性体と流体』岩波書店〈物理入門コース 8〉、1983年。ISBN 4000076485。
- ^ 際本泰士『振動・波動論講義―物理実験を取り入れて』コロナ社、2005年。ISBN 4339066095。
- ^ シュレーディンガー方程式I, II (朝倉数学大系) by 谷島賢二 (著), 砂田利一 (編集), 増田久弥 (編集), 堀田良之 (編集), 朝倉書店.
- ^ Roger Temam (1984): "Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis", ACM Chelsea Publishing.
- ^ a b Korteweg-de Vries and Nonlinear Schrödinger Equations: Qualitative Theory (2001), Zhidkov, Peter E., Springer.
- ^ The Nonlinear Schrödinger Equation (1999) -Self-Focusing and Wave Collapse-, Sulem, Catherine, Sulem, Pierre-Louis, Springer.
- ^ The Nonlinear Schrödinger Equation -Singular Solutions and Optical Collapse- (2015), Gadi Fibich, Springer.
- ^ 大石進一『フーリエ解析』岩波書店〈理工系の数学入門コース 6〉、1989年。ISBN 4000077767。
- ^ 広田良吾『直接法によるソリトンの数理』（岩波書店、1992年）
- ^ Smith, G. D. (1985). Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods. en:Oxford university press.
- ^ Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.
- ^ 森正武. (1986) 有限要素法とその応用. 岩波書店.
- ^ 菊池文雄. (1999). 有限要素法概説 [新訂版]. サイエンス社.
- ^ 菊池文雄. (1994). 有限要素法の数理. 培風館.
- ^ 田端正久; 偏微分方程式の数値解析, 2010. 岩波書店.
- ^ 偏微分方程式の数値解法, 編集委員: 伊理正夫・杉原厚吉・速水謙・今井浩, 神谷紀生 & 北栄輔著, 工系数学講座 第11巻,978-4-320-01610-1, 1998年03月, 共立出版.
- ^ 登坂宣好, & 大西和榮. (2003). 偏微分方程式の数値シミュレーション. 東京大学出版会.
参考文献
和書
- 寺沢寛一『自然科学者のための数学概論』（増訂版）岩波書店、1983年5月18日。ISBN 4-00-005480-5。
- 溝畑茂『偏微分方程式論』岩波書店、1965年8月25日。ISBN 4-00-005971-8。
- 熊ノ郷準. (1978). 偏微分方程式. 共立出版.
- K.E.グスタフソン：「応用偏微分方程式：近代的方法への入門」（上）、海外出版貿易（株）、ISBN 4-905557-02-X (1991年9月1日).
- K.E.グスタフソン：「応用偏微分方程式：近代的方法への入門」（下）、海外出版貿易（株）、ISBN 4-905557-03-8 (1992年9月1日).
- 金子晃：「偏微分方程式入門」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-062903-4 (1998年2月5日)。
- 井川満：「双曲型偏微分方程式と波動現象」、岩波書店、ISBN 4-00-005611-5 (2006年4月5日).
- 村田實、倉田和浩：「楕円型・放物型偏微分方程式」、岩波書店、ISBN 4-00-005650-6 (2006年5月10日). ※ 岩波オンデマンドブックス（2016/12）。
- 田端正久：「偏微分方程式の数値解析」、岩波書店、ISBN 978-4000059794（2010年12月22日).
- スタンリー・ファーロウ(著)、伊理正夫・伊理由美(訳)：「偏微分方程式 科学者・技術者のための使いかたと解き方」、朝倉書店。
- 中村宏樹：「偏微分方程式とフーリエ解析」、東京大学出版会 (東京大学基礎工学双書)。
- W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 I上」、産業図書（1978年7月28日）。
- W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 I下」、産業図書（1978年9月1日）。
- W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 II」、産業図書（1983年）。
- 小薗英雄、小川卓克、三沢正史：「これからの非線形偏微分方程式」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78438-3 (2007年5月20日)。
- 柴田良弘、久保隆徹：「非線形偏微分方程式」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11771-4 (2012年).
洋書
- Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics) American Mathematical Society, 2010/04/.
- Dorina Mitrea: Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis (Universitext) , Springer, 2019/01.
- Michael Taylor: Partial Differential Equations I-III (Applied Mathematical Sciences), Springer.
- Egorov, Y. V., & Shubin, M. A. (2013): Foundations of the classical theory of partial differential equations. en:Springer Science & Business Media.
- Egorov, Komech and Shubin : Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations (1999) Springer.
- Sommerfeld, A. (1949): Partial differential equations in physics. en:Academic Press.
- Renardy, M., & Rogers, R. C. (2006): An introduction to partial differential equations. en:Springer Science & Business Media.
- Logan, J. D. (2008): An introduction to nonlinear partial differential equations. John Wiley & Sons.
- Olver, P. J.: Introduction to partial differential equations. Berlin: Springer.
- Fritz Schwarz: Loewy Decomposition of Linear Differential Equations, Springer, ISBN 978-3-7091-1286-1 (2012).
外部リンク
- Partial differential equation - スカラーペディア百科事典「偏微分方程式」の項目。
