完全方陣（かんぜんほうじん）または汎魔方陣（はんまほうじん）[1]・汎対角線方陣（はんたいかくせんほうじん）・超魔方陣（ちょうまほうじん）[2]とは、条件を追加した魔方陣の一種である。
概要
通常の魔方陣は、縦列・横列及び対角線上の数の和が一定の値（定和）となる。完全方陣はそれに加え、対角線を平行移動させた列（以下「汎対角線」と呼ぶ）の和も定和になる。
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移動
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上の魔方陣は完全方陣の一例である。
- 左上から右下へ向かう対角線とそれに平行な汎対角線の和: 1+11+16+6 = 8+2+9+15 = 13+7+4+10 = 12+14+5+3 = 34
- 左下から右上へ向かう対角線とそれに平行な汎対角線の和: 12+2+5+15 = 1+7+16+10 = 8+14+9+3 = 13+11+4+6 = 34
完全方陣はその性質より、端の列を反対側に移しても完全方陣となる。例えば上の図で、最上段の 1 14 4 15 を最下段に移動させても対角線及び汎対角線の和は定和に等しい。
n×n の完全方陣では、縦横の列・対角線・汎対角線で最低 4n組の n個の数字の和が定和になるが、他にも定和となる組み合わせが存在する。4×4の完全方陣では、任意の小正方形の4隅の和が定和になるなど、52組の4数の和が定和となる。5×5の完全方陣では、ある数字とそれに接する4個の数字の和が定和になる。
完全方陣の数
上述の通り、完全方陣は1つ存在すれば列の移動によって他の完全方陣を作ることができる。このため、n×nの完全方陣の数は n2 の倍数となる。
4×4の完全方陣は48個あり[3][4]、3つのグループに分けられる。
5×5の完全方陣は3600個であり、144のグループに分けられる。
7×7以上の完全方陣の総数は分かっていないが、後述のラテン方陣を組み合わせる方法で 777600×72個を作ることができる[5]。
(4n+2)×(4n+2)の完全方陣は存在しないことが証明されている[6]。
作り方
完全方陣の作成には、2つの補助方陣を使用するのが一般的である。
n×n のマスに 1–n（または 0–(n-1)）を n個ずつ入れ、各列と対角線の和が同じ数になるようにしたものを補助方陣という。完全方陣の作成の時には、汎対角線の和も同じ値になっている必要がある。
2つの方陣を重ねたとき、同じ組み合わせが存在しなければ、片方の数字を n 倍して和をとることで完全方陣を作ることができる。
n が3の倍数でない奇数の時には、このような性質を持つラテン方陣の組が存在するため容易に完全方陣を作ることができる。nがそれ以外（3か4の倍数）の時にはこのようなラテン方陣がないので、他の補助方陣を作成する必要がある。
6×6の完全方陣が存在しないことの証明
6×6の完全方陣が存在しないことは以下のように証明できる。10以上の(4n+2)×(4n+2)の完全方陣においても同様の方法で証明ができる。[7]
6×6の完全方陣が存在したとする。定和を C とおく。C=111であり、この数は奇数である。
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| ◎ |
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◎ |
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◎ |
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○ |
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上の左側2つの図の○の場所の合計はそれぞれ 3C である。よって、右の（○の数の合計）+（◎の数の合計の2倍）=6C である。右の図の○は3本の独立した汎対角線でもあるため、○の合計は3C である。整理すると、（◎の数の合計）×2=3C だが、3C=333=奇数なので矛盾する。
よって6×6の完全方陣は存在しない。
この証明には、「入っている数字が連続数→定和が奇数」ということを前提にしている。入る数字が連続数でなければ定和が偶数になることもあるのでこの場合には完全方陣を作ることができる[8]。
4×4の完全方陣
3つのグループ
本質的には3つのグループに分けられる。回転や鏡像（裏返し）を同一とした場合、48通りがある[9]。
各、4つずつの縦横の位置が重ならない、特徴を持つ。
- B（計16通り） - 【1,5,9,13】 【2,6,10,14】 【3,7,11,15】 【4,8,12,16】
- BとC（計32通り） - 【1-4】 【5-8】 【9-12】 【13-16】
- CとA（計32通り） - 【1,3,5,7】 【2,4,6,8】 【9,11,13,15】 【10,12,14,16】
| A（計 十六）
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2 |
7 |
14 |
11 |
2 |
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10 |
3 |
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2 |
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| B （計 十六）
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3 |
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13 |
3 |
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| 2 |
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2 |
16 |
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| 11 |
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11 |
5 |
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| 8 |
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1 |
8 |
10 |
15
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| 13 |
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13 |
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| 2 |
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2 |
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9
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| 11 |
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4
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| C（計 十六）
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13 |
2 |
7
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| 3 |
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13 |
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4 |
15 |
10 |
5 |
4
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1 - 16の位置関係
- 通常の4×4の方陣とは異なり、位置関係は限られる。例えば1の縦横の隣には8、12、14、15のみ。
- + 縦横の隣、/ 斜め隣or縦横の2つ先、@ 斜めの2つ先（和が17）、s skew position。
- 各マスから1を引いた図（0から15）も併記[7]。
- 全体を4ブロックに区分すると、★☆同士が対応。
- 縦横の隣で連数になるのは、4と5、12と13のみ。
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01 |
02 |
03 |
04 |
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+ |
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+ |
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-
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s |
s |
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+
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s |
+ |
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+ |
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-
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s |
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+ |
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| 11
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/ |
+ |
s |
/ |
+ |
@ |
/ |
+ |
s |
/
|
-
|
s |
/ |
+ |
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/
|
| 12
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+ |
/ |
/ |
s |
@ |
+ |
+ |
/ |
/ |
s |
s
|
-
|
+ |
/ |
/ |
s
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| 13
|
/ |
+ |
+ |
@ |
s |
/ |
/ |
+ |
s |
/ |
/ |
+
|
-
|
s |
s |
/
|
| 14
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+ |
/ |
@ |
+ |
/ |
s |
+ |
/ |
/ |
s |
+ |
/ |
s
|
-
|
/ |
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| 15
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+ |
@ |
/ |
+ |
/ |
+ |
s |
/ |
/ |
+ |
s |
/ |
s |
/
|
-
|
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|
| 16
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@ |
+ |
+ |
/ |
+ |
/ |
/ |
s |
+ |
/ |
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s |
/ |
s |
s
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-
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| 8.5 |
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| 1
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-
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s |
s |
/ |
s |
/ |
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/ |
/ |
+ |
/ |
+ |
+ |
@
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| 2
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-
|
/ |
s |
/ |
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+ |
/ |
/ |
s |
+ |
/ |
+ |
/ |
@ |
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s |
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-
|
s |
/ |
+ |
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/ |
/ |
+ |
s |
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+ |
@ |
/ |
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/ |
s |
s
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-
|
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/ |
/ |
s |
+ |
/ |
/ |
s |
@ |
+ |
+ |
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| 5
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s |
/ |
/ |
+
|
-
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s |
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/ |
/ |
+ |
+ |
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s |
/ |
/ |
+
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| 6
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/ |
s |
+ |
/ |
s
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-
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/ |
s |
+ |
/ |
@ |
+ |
/ |
s |
+ |
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| 7
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/ |
+ |
s |
/ |
s |
/
|
-
|
s |
+ |
@ |
/ |
+ |
/ |
+ |
s |
/
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| 8
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+ |
/ |
/ |
s |
/ |
s |
s
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-
|
@ |
+ |
+ |
/ |
+ |
/ |
/ |
s
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| 0
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（15-c）
|
a+c
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（15-a）
|
| （15-d）
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c+d
|
b
|
a+d
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| b+d
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a
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15
|
c
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| （15-b）
|
b+c
|
d
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a+b
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| 0
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a+b+d
|
a+c
|
b+c+d
|
| a+b+c
|
c+d
|
b
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a+d
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| b+d
|
a
|
15
|
c
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| a+c+d
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b+c
|
d
|
a+b
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全48通り
- 以下の表は、四隅の数の組合せ一覧（それぞれ一番左上にあるものが、先に挙げた3つの形）。
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| 足して9 |
足して25
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| 足して25 |
足して9
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| 足して9 |
足して25
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| 足して25 |
足して9
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| 00 |
足して25 |
00
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| 00 |
足して9 |
00
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| 00 |
足して25 |
00
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| 00 |
足して9 |
00
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1-4-14-15 |
1-6-12-15 |
1-7-12-14 |
1-8-10-15 |
1-8-11-14 |
1-8-12-13
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| A
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| 1
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8
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13
|
12
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| 14
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11
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2
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7
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| 4
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5
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16
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9
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| 15
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10
|
3
|
6
|
|
| 1
|
8
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13
|
12
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| 15
|
10
|
3
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6
|
| 4
|
5
|
16
|
9
|
| 14
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11
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2
|
7
|
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| 1
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12
|
13
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8
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| 14
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7
|
2
|
11
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| 4
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9
|
16
|
5
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| 15
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6
|
3
|
10
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|
| 1
|
12
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13
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8
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| 15
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6
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3
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| 4
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9
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16
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5
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| 14
|
7
|
2
|
11
|
|
|
| B
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| 1
|
8
|
10
|
15
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| 12
|
13
|
3
|
6
|
| 7
|
2
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16
|
9
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| 14
|
11
|
5
|
4
|
|
| 1
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8
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10
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15
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| 14
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11
|
5
|
4
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| 7
|
2
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16
|
9
|
| 12
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13
|
3
|
6
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|
|
|
| 1
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|
10
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8
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| 12
|
6
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3
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13
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| 7
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9
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16
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2
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| 14
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4
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5
|
11
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|
| 1
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15
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10
|
8
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| 14
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4
|
5
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11
|
| 7
|
9
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16
|
2
|
| 12
|
6
|
3
|
13
|
|
| C
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| 1
|
8
|
11
|
14
|
| 12
|
13
|
2
|
7
|
| 6
|
3
|
16
|
9
|
| 15
|
10
|
5
|
4
|
|
|
| 1
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8
|
11
|
14
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| 15
|
10
|
5
|
4
|
| 6
|
3
|
16
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9
|
| 12
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13
|
2
|
7
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|
| 1
|
14
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11
|
8
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| 12
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7
|
2
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13
|
| 6
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9
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16
|
3
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| 15
|
4
|
5
|
10
|
|
|
| 1
|
14
|
11
|
8
|
| 15
|
4
|
5
|
10
|
| 6
|
9
|
16
|
3
|
| 12
|
7
|
2
|
13
|
|
|
2-3-13-16 |
2-5-11-16 |
2-8-11-13 |
2-7-9-16 |
2-7-12-13 |
2-7-11-14
|
| A
|
|
| 2
|
7
|
14
|
11
|
| 13
|
12
|
1
|
8
|
| 3
|
6
|
15
|
10
|
| 16
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9
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4
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5
|
|
| 2
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7
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14
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11
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| 16
|
9
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4
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5
|
| 3
|
6
|
15
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10
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| 13
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12
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1
|
8
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|
| 2
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11
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14
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7
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| 13
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8
|
1
|
12
|
| 3
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10
|
15
|
6
|
| 16
|
5
|
4
|
9
|
|
| 2
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11
|
14
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7
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| 16
|
5
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4
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9
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| 3
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10
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15
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6
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| 13
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8
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|
12
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|
| B
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| 2
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7
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9
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16
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| 11
|
14
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4
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5
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| 8
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1
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15
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| 13
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| 2
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7
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9
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16
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| 13
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12
|
6
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3
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| 8
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|
15
|
10
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| 11
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14
|
4
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5
|
|
|
|
| 2
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16
|
9
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7
|
| 11
|
5
|
4
|
14
|
| 8
|
10
|
15
|
1
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| 13
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3
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6
|
12
|
|
| 2
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16
|
9
|
7
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| 13
|
3
|
6
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12
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| 8
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10
|
15
|
1
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| 11
|
5
|
4
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14
|
|
| C
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| 2
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12
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13
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| 11
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|
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8
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| 5
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4
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10
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| 16
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6
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3
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| 2
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| 16
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| 5
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| 11
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| 2
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| 11
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8
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1
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14
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| 5
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4
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| 16
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3
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6
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9
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|
|
| 2
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13
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12
|
7
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| 16
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3
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6
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9
|
| 5
|
10
|
15
|
4
|
| 11
|
8
|
1
|
14
|
|
|
6-7-9-12 |
3-8-10-13 |
3-5-10-16 |
3-6-12-13 |
3-6-9-16 |
3-6-10-15
|
| A
|
|
| 3
|
6
|
15
|
10
|
| 16
|
9
|
4
|
5
|
| 2
|
7
|
14
|
11
|
| 13
|
12
|
1
|
8
|
|
| 3
|
6
|
15
|
10
|
| 13
|
12
|
1
|
8
|
| 2
|
7
|
14
|
11
|
| 16
|
9
|
4
|
5
|
|
| 3
|
10
|
15
|
6
|
| 16
|
5
|
4
|
9
|
| 2
|
11
|
14
|
7
|
| 13
|
8
|
1
|
12
|
|
| 3
|
10
|
15
|
6
|
| 13
|
8
|
1
|
12
|
| 2
|
11
|
14
|
7
|
| 16
|
5
|
4
|
9
|
|
|
| B
|
| 6
|
3
|
13
|
12
|
| 15
|
10
|
8
|
1
|
| 4
|
5
|
11
|
14
|
| 9
|
16
|
2
|
7
|
|
| 3
|
6
|
12
|
13
|
| 16
|
9
|
7
|
2
|
| 5
|
4
|
14
|
11
|
| 10
|
15
|
1
|
8
|
|
|
|
| 3
|
13
|
12
|
6
|
| 10
|
8
|
1
|
15
|
| 5
|
11
|
14
|
4
|
| 16
|
2
|
7
|
9
|
|
| 3
|
13
|
12
|
6
|
| 16
|
2
|
7
|
9
|
| 5
|
11
|
14
|
4
|
| 10
|
8
|
1
|
15
|
|
| C
|
| 6
|
3
|
16
|
9
|
| 15
|
10
|
5
|
4
|
| 1
|
8
|
11
|
14
|
| 12
|
13
|
2
|
7
|
|
|
| 3
|
6
|
9
|
16
|
| 13
|
12
|
7
|
2
|
| 8
|
1
|
14
|
11
|
| 10
|
15
|
4
|
5
|
|
| 3
|
16
|
9
|
6
|
| 10
|
5
|
4
|
15
|
| 8
|
11
|
14
|
1
|
| 13
|
2
|
7
|
12
|
|
|
| 3
|
16
|
9
|
6
|
| 13
|
2
|
7
|
12
|
| 8
|
11
|
14
|
1
|
| 10
|
5
|
4
|
15
|
|
|
5-8-10-11 |
4-7-9-14 |
4-6-9-15 |
4-5-11-14 |
4-5-10-15 |
4-5-9-16
|
| A
|
|
| 4
|
5
|
16
|
9
|
| 15
|
10
|
3
|
6
|
| 1
|
8
|
13
|
12
|
| 14
|
11
|
2
|
7
|
|
| 4
|
5
|
16
|
9
|
| 14
|
11
|
2
|
7
|
| 1
|
8
|
13
|
12
|
| 15
|
10
|
3
|
6
|
|
| 4
|
9
|
16
|
5
|
| 15
|
6
|
3
|
10
|
| 1
|
12
|
13
|
8
|
| 14
|
7
|
2
|
11
|
|
| 4
|
9
|
16
|
5
|
| 14
|
7
|
2
|
11
|
| 1
|
12
|
13
|
8
|
| 15
|
6
|
3
|
10
|
|
|
| B
|
| 5
|
4
|
14
|
11
|
| 16
|
9
|
7
|
2
|
| 3
|
6
|
12
|
13
|
| 10
|
15
|
1
|
8
|
|
| 4
|
5
|
11
|
14
|
| 15
|
10
|
8
|
1
|
| 6
|
3
|
13
|
12
|
| 9
|
16
|
2
|
7
|
|
|
|
| 4
|
14
|
11
|
5
|
| 9
|
7
|
2
|
16
|
| 6
|
12
|
13
|
3
|
| 15
|
1
|
8
|
10
|
|
| 4
|
14
|
11
|
5
|
| 15
|
1
|
8
|
10
|
| 6
|
12
|
13
|
3
|
| 9
|
7
|
2
|
16
|
|
| C
|
| 5
|
4
|
15
|
10
|
| 16
|
9
|
6
|
3
|
| 2
|
7
|
12
|
13
|
| 11
|
14
|
1
|
8
|
|
|
| 4
|
5
|
10
|
15
|
| 14
|
11
|
8
|
1
|
| 7
|
2
|
13
|
12
|
| 9
|
16
|
3
|
6
|
|
| 4
|
15
|
10
|
5
|
| 9
|
6
|
3
|
16
|
| 7
|
12
|
13
|
2
|
| 14
|
1
|
8
|
11
|
|
|
| 4
|
15
|
10
|
5
|
| 14
|
1
|
8
|
11
|
| 7
|
12
|
13
|
2
|
| 9
|
6
|
3
|
16
|
|
その他の特徴
- 四隅の数字の組合せが同じものは、計8つの数字が一致する。裏返しの回転のものとは、対角線と中央の、同様に計8つの数字が一致する。以下は、「4-5-11-14」の例。
| 4 |
9 |
16 |
5
|
| 15 |
6 |
3 |
10
|
| 1 |
12 |
13 |
8
|
| 14 |
7 |
2 |
11
|
|
00
|
| 00 |
00 |
00 |
00
|
| 00 |
00 |
00
|
| 00 |
00
|
| 00 |
00 |
00 |
00
|
|
00
|
| 4 |
9 |
7 |
14
|
| 15 |
6 |
12 |
1
|
| 10 |
3 |
13 |
8
|
| 5 |
16 |
2 |
11
|
|
| ↓回転（同一扱い） |
|
|
|
↓回転（同一扱い）
|
| 4 |
15 |
1 |
14
|
| 9 |
6 |
12 |
7
|
| 16 |
3 |
13 |
2
|
| 5 |
10 |
8 |
11
|
|
00
|
| 00 |
00 |
00
|
| 00 |
00
|
| 00 |
00 |
00
|
| 00 |
00
|
|
00
|
| 4 |
15 |
10 |
5
|
| 9 |
6 |
3 |
16
|
| 7 |
12 |
13 |
2
|
| 14 |
1 |
8 |
11
|
|
| →
|
| 1
|
8
|
13
|
12
|
| 14
|
11
|
2
|
7
|
| 4
|
5
|
16
|
9
|
| 15
|
10
|
3
|
6
|
|
|
| 13
|
12
|
1
|
8
|
| 2
|
7
|
14
|
11
|
| 16
|
9
|
4
|
5
|
| 3
|
6
|
15
|
10
|
|
|
|
| ↓
|
| 4
|
5
|
16
|
9
|
| 15
|
10
|
3
|
6
|
| 1
|
8
|
13
|
12
|
| 14
|
11
|
2
|
7
|
|
|
| 16
|
9
|
4
|
5
|
| 3
|
6
|
15
|
10
|
| 13
|
12
|
1
|
8
|
| 2
|
7
|
14
|
11
|
|
- 足して17になる数同士の、全置換。四隅の数差が同じ同士の計24組がある。
| 四隅 4-5-11-14 |
|
四隅 13-12-6-3
|
| 4
|
9
|
16
|
5
|
| 15
|
6
|
3
|
10
|
| 1
|
12
|
13
|
8
|
| 14
|
7
|
2
|
11
|
|
⇔ |
| 13
|
8
|
1
|
12
|
| 2
|
11
|
14
|
7
|
| 16
|
5
|
4
|
9
|
| 3
|
10
|
15
|
6
|
|
|
|
↓回転（同一扱い）
|
|
|
|
| 3
|
10
|
15
|
6
|
| 16
|
5
|
4
|
9
|
| 2
|
11
|
14
|
7
|
| 13
|
8
|
1
|
12
|
|
|
|
四隅 |
差 |
四隅 |
|
| BC |
（15, 14, 4, 1） |
1, 4, 14, 15
|
3 |
10 |
1
|
16, 13, 3, 2 |
（2, 3, 13, 16）
|
| BC |
（12, 9, 7, 6） |
6, 7, 9, 12
|
1 |
2 |
3
|
11, 10, 8, 5 |
（5, 8, 10, 11）
|
| AB |
（15, 12, 6, 1） |
1, 6, 12, 15
|
5 |
6 |
3
|
16, 11, 5, 2 |
（2, 5, 11, 16）
|
| AB |
（13, 10, 8, 3） |
3, 8, 10, 13
|
5 |
2 |
3
|
14, 9, 7, 4 |
（4, 7, 9, 14）
|
| AC |
（14, 12, 7, 1） |
1, 7, 12, 14
|
6 |
5 |
2
|
16, 10, 5, 3 |
（3, 5, 10, 16）
|
| AC |
（13, 11, 8, 2） |
2, 8, 11, 13
|
6 |
3 |
2
|
15, 9, 6, 4 |
（4, 6, 9, 15）
|
| AC |
（15, 10, 8, 1） |
1, 8, 10, 15
|
7 |
2 |
5
|
16, 9, 7, 2 |
（2, 7, 9, 16）
|
| AC |
（13, 12, 6, 3） |
3, 6, 12, 13
|
3 |
6 |
1
|
14, 11, 5, 4 |
（4, 5, 11, 14）
|
| AB |
（14, 11, 8, 1） |
1, 8, 11, 14
|
7 |
3 |
3
|
16, 9, 6, 3 |
（3, 6, 9, 16）
|
| AB |
（13, 12, 7, 2） |
2, 7, 12, 13
|
5 |
5 |
1
|
15, 10, 5, 4 |
（4, 5, 10, 15）
|
| BC |
（13, 12, 8, 1） |
1, 8, 12, 13
|
7 |
4 |
1
|
16, 9, 5, 4 |
（4, 5, 9, 16）
|
| BC |
（14, 11, 7, 2） |
2, 7, 11, 14
|
5 |
4 |
3
|
15, 10, 6, 3 |
（3, 6, 10, 15）
|
脚注
参考文献
外部リンク
