PMIの連鎖律
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/05 23:45 UTC 版)
相互情報量と同様、自己相互情報量は連鎖律に従う。 pmi ( x ; y , z ) = pmi ( x ; y ) + pmi ( x ; z ∣ y ) {\displaystyle \operatorname {pmi} (x;\,y,z)=\operatorname {pmi} (x;\,y)+\operatorname {pmi} (x;\,z\mid y)} これは次のように証明できる。 pmi ( x ; y ) + pmi ( x ; z ∣ y ) = log p ( x , y ) p ( x ) p ( y ) + log p ( x , z ∣ y ) p ( x ∣ y ) p ( z ∣ y ) = log [ p ( x , y ) p ( x ) p ( y ) p ( x , z ∣ y ) p ( x ∣ y ) p ( z ∣ y ) ] = log p ( x ∣ y ) p ( y ) p ( x , z ∣ y ) p ( x ) p ( y ) p ( x ∣ y ) p ( z ∣ y ) = log p ( y ) p ( x , z ∣ y ) p ( x ) p ( y ) p ( z ∣ y ) = log p ( x , y , z ) p ( x ) p ( y , z ) = pmi ( x ; y z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {pmi} (x;y)+\operatorname {pmi} (x;z\mid y)&=\log {\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}+\log {\frac {p(x,z\mid y)}{p(x\mid y)\,p(z\mid y)}}\\&{}=\log \left[{\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}{\frac {p(x,z\mid y)}{p(x\mid y)\,p(z\mid y)}}\right]\\&{}=\log {\frac {p(x\mid y)\,p(y)\,p(x,z\mid y)}{p(x)\,p(y)\,p(x\mid y)\,p(z\mid y)}}\\&{}=\log {\frac {p(y)\,p(x,z\mid y)}{p(x)\,p(y)\,p(z\mid y)}}\\&{}=\log {\frac {p(x,y,z)}{p(x)\,p(y,z)}}\\&{}=\operatorname {pmi} (x;yz)\end{aligned}}}
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