Area of a circle

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円の面積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/11 23:23 UTC 版)

円の面積（えんのめんせき）${\displaystyle S}$

円の直径から、その1/9を引いたものを2乗すると円の面積になる（リンド・パピルス）

古代エジプトにおいては、リンド・パピルスの問題50に円の面積を求める方法が記録されている^{[注釈 1]}。

リンド・パピルスでは、円の直径 ${\displaystyle d}$

円の面積は、円周 c を底辺、半径 r を高さとする直角三角形の面積に等しい

エウクレイデスは『原論』において、直径 ${\displaystyle d}$

円に内接する正6,12,24角形

アルキメデスは『円の計測』において、

命題1

円の面積は、円周の長さを底辺、半径を高さとする直角三角形の面積に等しい

命題3

円周と直径との比は、${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}}$

『九章算術』劉徽による円に内接する正多角形を用いた円の求積

『九章算術』に註釈をつけた魏の劉徽は、円の内接する正6角形から正12角形、正24角形と辺数を増やしていくと、やがて内接多角形の面積は円の面積に差は無くなる、としている^[17]。

具体的には、円に内接する正n多角形のうち1つの三角形（△OAB）に対し、三角形の底辺とそのの二等分線と円周上の交点を高さとする長方形で囲まれる面積（□AA'B'B）を考えると、内接する正n角形の面積とその面積に長方形の面積を加えたものの間に円の面積がある、ということを利用している（右図）。

正n角形の面積を${\displaystyle a_{n}}$

半径${\displaystyle r}$

半径${\displaystyle r}$

円に内接/外接する正多角形の面積を求める

半径rの円に内接する正n角形において、1区画の三角形の面積を考える（右図(a)）。

三角形の高さは ${\displaystyle r\sin {\frac {\pi }{n}}}$

円環の積分による円の求積

原点を中心として、半径 ${\displaystyle x}$