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ラウス・フルヴィッツの安定判別法 （-あんていはんべつほう、Routh–Hurwitz stability criterion）は、連続時間の制御系が安定か不安定かを調べるための判別法の1つである。離散系におけるジュリーの安定判別法と対応する。
1874年 にラウス は、次の特性方程式
a
0
s
n
+
a
1
s
n
−
1
+
a
2
s
n
−
2
+
⋯
+
a
n
−
1
s
+
a
n
=
0
{\displaystyle a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}=0}
の係数
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
{\displaystyle a_{0},~a_{1},~a_{2},~\cdots ,~a_{n}}
s
n
a
0
a
2
a
4
a
6
⋯
s
n
−
1
a
1
a
3
a
5
a
7
⋯
s
n
−
2
a
1
a
2
−
a
0
a
3
a
1
=
b
1
a
1
a
4
−
a
0
a
5
a
1
=
b
2
a
1
a
6
−
a
0
a
7
a
1
=
b
3
⋯
⋯
s
n
−
3
b
1
a
3
−
a
1
b
2
b
1
=
c
1
b
1
a
5
−
a
1
b
3
b
1
=
c
2
⋯
⋯
⋯
s
n
−
4
c
1
b
2
−
b
1
c
2
c
1
=
d
1
c
1
b
3
−
b
1
c
3
c
1
=
d
2
⋯
⋯
⋯
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
s
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}s^{n}&a_{0}&a_{2}&a_{4}&a_{6}&\cdots \\s^{n-1}&a_{1}&a_{3}&a_{5}&a_{7}&\cdots \\s^{n-2}&\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}-a_{0}a_{3}}{a_{1}}}=b_{1}&\displaystyle {\frac {a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5}}{a_{1}}}=b_{2}&\displaystyle {\frac {a_{1}a_{6}-a_{0}a_{7}}{a_{1}}}=b_{3}&\cdots &\cdots \\s^{n-3}&\displaystyle {\frac {b_{1}a_{3}-a_{1}b_{2}}{b_{1}}}=c_{1}&\displaystyle {\frac {b_{1}a_{5}-a_{1}b_{3}}{b_{1}}}=c_{2}&\cdots &\cdots &\cdots \\s^{n-4}&\displaystyle {\frac {c_{1}b_{2}-b_{1}c_{2}}{c_{1}}}=d_{1}&\displaystyle {\frac {c_{1}b_{3}-b_{1}c_{3}}{c_{1}}}=d_{2}&\cdots &\cdots &\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\s^{0}&&&&&\\\end{array}}}
このラウスの安定判別法は、（係数が同符号であるときに、） 特性方程式の正の実部をもつ根の数は、ラウス配列の最初の列
a
0
,
a
1
,
b
1
,
c
1
,
d
1
{\displaystyle a_{0},~a_{1},~b_{1},~c_{1},~d_{1}}
の正負の符号変化の数に等しい。
というものである。すなわち、ラウス配列の最初の列に符号変化があれば、その制御系は不安定であることになる。
1895年 にフルヴィッツ は、ラウスの安定判別法とは独立にフルヴィッツの安定判別法を示した。 両判別法は数学的には全く同じであることがわかっている。
特性方程式
a
0
s
n
+
a
1
s
n
−
1
+
a
2
s
n
−
2
+
⋯
+
a
n
−
1
s
+
a
n
=
0
{\displaystyle a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}=0}
の根がすべて負の実部をもつための必要十分条件 は(i)-(iii)のすべての条件を満たすことである。
(i) 係数
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
−
1
,
a
n
{\displaystyle a_{0},~a_{1},~a_{2},~\cdots ,~a_{n-1},~a_{n}}
(ii) すべての係数は同符号である。
(iii) 以下の行列式 がすべて正であること（
a
0
>
0
{\displaystyle a_{0}>0}
D
1
=
a
1
,
{\displaystyle D_{1}=a_{1},~}
D
2
=
|
a
1
a
3
a
0
a
2
|
,
{\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}},~}
D
3
=
|
a
1
a
3
a
5
a
0
a
2
a
4
0
a
1
a
3
|
,
{\displaystyle D_{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\end{vmatrix}},~}
⋮
{\displaystyle \vdots }
D
n
−
1
=
|
a
1
a
3
a
5
⋯
a
2
n
−
3
a
0
a
2
a
4
⋯
a
2
n
−
4
0
a
1
a
3
⋯
a
2
n
−
5
0
a
0
a
2
⋯
a
2
n
−
6
0
0
a
1
⋯
a
2
n
−
7
⋮
⋮
⋱
⋱
⋮
0
0
0
⋯
a
n
−
1
|
{\displaystyle D_{n-1}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\cdots &a_{2n-3}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&\cdots &a_{2n-4}\\0&a_{1}&a_{3}&\cdots &a_{2n-5}\\0&a_{0}&a_{2}&\cdots &a_{2n-6}\\0&0&a_{1}&\cdots &a_{2n-7}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &a_{n-1}\\\end{vmatrix}}}
このとき、特性方程式の次数の関係で存在しない係数は零として扱う。
例えば、
s
2
+
5
s
+
6
=
0
{\displaystyle s^{2}+5s+6=0}
D
{\displaystyle D}
D
1
=
5
>
0
{\displaystyle D_{1}=5>0}
D
2
=
|
5
a
3
1
6
|
{\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}5&a_{3}\\1&6\end{vmatrix}}}
となり、特性方程式の次数の関係で存在しない部分が現れてしまう。
この場合には、
a
3
=
0
{\displaystyle a_{3}=0}
