ハミルトン積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 07:36 UTC 版)
二つの四元数 a1 + b1i + c1j + d1k と a2 + b2i + c2j + d2k に対し、それらのハミルトン積 (a1 + b1i + c1j + d1k)(a2 + b2i + c2j + d2k) は、基底間の積と分配律によって与えられる。具体的には、この積は分配律により基底元の積和の形に展開することができて、 a 1 a 2 + a 1 b 2 i + a 1 c 2 j + a 1 d 2 k + b 1 a 2 i + b 1 b 2 i 2 + b 1 c 2 i j + b 1 d 2 i k + c 1 a 2 j + c 1 b 2 j i + c 1 c 2 j 2 + c 1 d 2 j k + d 1 a 2 k + d 1 b 2 k i + d 1 c 2 k j + d 1 d 2 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}\,i+a_{1}c_{2}\,j+a_{1}d_{2}\,k\\&\quad +b_{1}a_{2}\,i+b_{1}b_{2}\,i^{2}+b_{1}c_{2}\,ij+b_{1}d_{2}\,ik\\&\quad +c_{1}a_{2}\,j+c_{1}b_{2}\,ji+c_{1}c_{2}\,j^{2}+c_{1}d_{2}\,jk\\&\quad +d_{1}a_{2}\,k+d_{1}b_{2}\,ki+d_{1}c_{2}\,kj+d_{1}d_{2}\,k^{2}\end{aligned}}} となるので、ここで先の基底元の間の乗法規則を適用して a 1 a 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 ) i + ( a 1 c 2 − b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 ) j + ( a 1 d 2 + b 1 c 2 − c 1 b 2 + d 1 a 2 ) k {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2}\\&\quad +(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\,i\\&\quad +(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})\,j\\&\quad +(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\,k\end{aligned}}} を得る。
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