アラン分散

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アラン分散

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/09 15:08 UTC 版)

ある時計をリファレンスの時計と比較するとする。リファレンスの時計がτ進む間に、時計がyτ進むとする。ここでyは時計の相対的な周波数の平均値である。図のように、二つの連続した期間の測定をすることで、(y − y′)²が得られる。この値が小さいほどこの時計が安定である。これを繰り返し、(y − y′)²の平均値を得ると、それが平均化時間τのアラン分散の2倍となる。

アラン分散（Allan variance）は、時計、発振器、アンプにおける周波数安定度を表す指標である。名前はDavid W. Allanに由来し、数学的には $\sigma _{y}^{2}(\tau )$

時計のアラン偏差の例。平均化時間τが小さい時は、τが増えるにつれてノイズがならされ、アラン偏差が減少している。さらにτを増加させると、アラン偏差は増加に転じる。これは時計の周波数がドリフトしていることを示している。

背景

水晶発振器や原子時計の安定性が調べられていた頃、位相ノイズにはホワイトノイズのみならず、フリッカー周波数ノイズも存在しているとわかった。これらのノイズの形は、推定値が収束しないため、標準偏差などの伝統的な統計ツールでは扱いが難しい。安定性を分析する初期の取り組みは、理論的な分析と実用的な測定の両方から行われた。

この問題を解決するため、David AllanはM-サンプル分散を導入し、間接的にアラン分散（2-サンプル分散）を導入した。アラン分散では、全ての種類のノイズを見分けることはできないが、有意義な情報が得られる。IEEEはのちに、M-サンプル分散よりもアラン分散（2-サンプル分散）の方が望ましいとみなした。

定義

振動と位相ノイズ

振動は以下の式で表される。

$V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).$