深さ (環論) 深さ0の環

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深さ (環論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/23 01:38 UTC 版)

深さ0の環

可換ネーター局所環 R が深さ 0 をもつこととその極大イデアル ${\mathfrak {m}}$ が素因子であることと同値である。あるいは同じことだが、R の 0 でない元 x が存在して $x{\mathfrak {m}}=0$ （すなわち x は ${\mathfrak {m}}$ を零化する）。これが意味するのは、本質的に、閉点が埋め込まれた成分であるということだ。

例えば、環 $k[x,y]/(x^{2},xy)$ （ただし k は体）は原点に埋め込まれた二重点をもつ直線 ($x=0$) を表現するが、原点において深度 0 をもつが次元は 1 である。これはコーエン・マコーレーでない環の例を与える。