捩率テンソル

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/12 01:02 UTC 版)

捩率形式

定義

定義 ― 局所的な基底 $e_{1},\ldots ,e_{n}\in TM$ に対し、捩率テンソルを

T(X,Y)=\tau ^{i}(X,Y)e_{i}

と成分表示して得られる2-形式 $\tau ^{i}$ を並べてできる縦ベクトル $\tau ={}^{t}(\tau ^{1},\ldots ,\tau ^{m})$ を基底 $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ に関する $\nabla$ の捩率形式（英: torsion form）という^[11]^{[注 2]}。

さらに行列値1-形式 $\omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}$ を

\nabla _{X}e_{j}=\omega ^{i}{}_{j}(X)e_{i}

により定義し、 $ω$ を基底 $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ に関する $\nabla$ の接続形式といい、曲率テンソル

R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z

に対し、行列値2-形式 $\Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{ij}$ を

R(X,Y)e_{j}=\Omega ^{i}{}_{j}(X,Y)e_{i}

により定義し、 $ω$ を基底 $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ に関する $\nabla$ の曲率形式という。

性質

局所的な基底 $e_{1},\ldots ,e_{n}\in TM$ の双対基底を $\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n}\in T^{*}M$ とすると^{[注 3]}、これらは1形式である。これらを並べた縦ベクトルを $\theta ={}^{t}(\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n})$ とする。このとき、次が成立する：

定理 ― アフィン接続は次を満たす：

（カルタンの）第一構造方程式^[13]（英: (Cartan's) first structural equation）^[14]： $\tau =d\theta +\omega \wedge \theta$
ビアンキの第一恒等式（英: first Bianchi identity）^[14]： $d\tau =\Omega \wedge \theta -\omega \wedge \tau$

ここでウェッジ積 $\omega \wedge \theta$ は行列 $\omega (X)$ とベクトル $\theta (Y)$ の積 $\omega (X)\theta (Y)$ を用いて $\omega \wedge \theta (X,Y):=\omega (X)\theta (Y)-\omega (Y)\theta (X)$ $=(\omega ^{i}{}_{j}\wedge \theta ^{j}(X,Y))_{i}$ により定義される。 $\Omega \wedge \theta$ 、 $\omega \wedge \tau$ も同様に定義される。また曲率形式は以下を満たす：

定理 ― 　

（カルタンの）第二構造方程式^[15]（英: (Cartan's) second structural equation）^[16]： $\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$
ビアンキの第二恒等式（英: second Bianchi identity）^[17]： $d\Omega =\Omega \wedge \omega -\omega \wedge \Omega$

接続行列のウェッジ積 $\omega \wedge \omega$ は行列積 $\omega \wedge \omega (X,Y)=\omega (X)\omega (Y)-\omega (Y)\omega (X)$ $=(\omega ^{i}{}_{k}\wedge \omega ^{k}{}_{j}(X,Y))_{ij}$ の事である。 $\Omega \wedge \omega$ や $\Omega \wedge \Omega$ も同様に定義する。

ビアンキの第一および第二恒等式は以下のようにも書くことができる：

定理 ― $M$ 上のベクトル場 $X 1$ 、 $X 2$ 、 $X 3$ に対し、以下が成立する：

ビアンキの第一恒等式^[18]： $\sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}R(X_{i},X_{i+1})X_{i+2}=\sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}T(T(X_{i},X_{i+1}),X_{i+2})+(\nabla _{X_{i}}T)(X_{i+1},X_{i+2})$
ビアンキの第二恒等式^[18]： $\sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}(\nabla _{X_{i}}R)(X_{i+1},X_{i+2})+R(T(X_{i},X_{i+1}),X_{i+2})=0$

ここで添字は「 $mod 3$ 」で考える。すなわち「 $\sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}$ 」は巡回和である。

注

出典

^ ^a ^b #Tu p.44. 原文「There does not seem to be a good reason for calling $T(X,Y)$ the torsion."」
^ #Spivak p.234. 「誰も「捩率」という用語によい説明をつけられないように見える」。原文「no one seems to have a good explanation for the term "torsion" in this case」.
^ #小林 p.76.
^ #Tu p.44.
^ ^a ^b #Tu p.100.
^ #Wendl4 p.102.
^ #Wendl4 p.101.
^ #Tu p.45.
^ ^a ^b #Kobayashi-Nomizu-1 p.146
^ #Spivak p.271.
^ #小林 p.107.
^ #Tu p.84.
^ #新井 p.270
^ ^a ^b #Tu p.203.
^ #新井 p.272.
^ #Tu p.80
^ #Tu p.204.
^ ^a ^b #Kobayashi-Nomizu-1 p.135.
^ #Tu p.268.
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.118.
^ ^a ^b ^c #Kobayashi-Nomizu-1 p.120.
^ ^a ^b #Sharpe p.184.
^ #Sharpe p.191.
^ #Sharpe p.184.

注釈

^ ここで「 $\nabla$ と $\nabla'$ がパラメータを込めて同一の測地線を定める」は $P(s)$ が $\nabla$ の測地線であれば、同じパラメータ $s$ に対して $P(s)$ が $\nabla'$ の測地線になり、その逆も成り立つという意味である。 $P(s)$ を別の変数 $t$ に変換した $P(s(t))$ が $\nabla'$ の測地線になる場合は考慮していない。
^ #Tu p.84.では $τ$ 自身ではなくその成分 $\tau ^{1},\ldots ,\tau ^{m}$ の事を捩率形式と呼んでいる。
^ $e_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ であれば $\theta ^{i}=dx^{i}$ であるが、必ずしも $e_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ でなくともよい^[12]。