傾き (数学) 定義

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傾き (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/26 05:19 UTC 版)

定義

xy平面上の直線の傾きは、x座標の増加量に対する y座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き m は

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

で記述される。ここで、ギリシア文字 "Δ"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。

増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (x₁, y₁), (x₂, y₂) とする。このとき、m は

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

で求められる。

これらの等式から分かるように、鉛直線（y軸に平行な直線）の傾きは、ゼロ除算となり、定義されない。

（例）

直線が2点 $P(1,2)$, $Q(13,8)$ を通るとする。増加量として、P に対する Q の増加量と考えるか、Q に対する P の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは P に対する Q の増加量を考える。

xの増加量 Δx = 13 − 1 = 12

yの増加量 Δy = 8 − 2 = 6

傾き m とは、y座標の増加量 Δx に対する y座標の増加量 Δy の比率のことなので、

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}$

である。

直線が2点 $P(4,15)$, $Q(3,21)$ を通るならば、傾きは

$m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6$

である。