Clark-Oconeの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/05 07:36 UTC 版)
「マリアヴァン解析」の記事における「Clark-Oconeの公式」の解説
マリアヴァン解析から得られるもっとも有用な結果の一つは、マルチンゲールの表現定理における過程が明示的に識別可能になるClark-Oconeの公式である。この定理の単純化したものが以下になる。 E ( F ( X ) 2 ) < ∞ {\displaystyle E(F(X)^{2})<\infty } を満たし、リプシッツ連続であり、強い導関数の核を持つ F : C [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle F:C[0,1]\to \mathbb {R} } に対して、すなわち、'C[0,1]の φ {\displaystyle \varphi } に対し lim ε → 0 ( 1 / ε ) ( F ( X + ε φ ) − F ( X ) ) = ∫ 0 1 F ′ ( X , d t ) φ ( t ) a . e . X {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(1/\varepsilon )(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X} であり F ( X ) = E ( F ( X ) ) + ∫ 0 1 H t d X t {\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t}} となるとき、 ここでHはF'(x, (t,1])の予測可能な射影であり、これは、変域の一部(t,1]上の過程Xの適切な平行移動に関して、関数Fの導関数とみなせる。 これは以下のようにより簡潔に表せることがある。 F ( X ) = E ( F ( X ) ) + ∫ 0 1 E ( D t F | F t ) d X t . {\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F|{\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}.}
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