0/0形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/04 14:39 UTC 版)
c {\displaystyle c} と L {\displaystyle L} は有限であり、 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は 0 に収束するとする。 まず第一に、 f ( c ) = 0 {\displaystyle f(c)=0} と g ( c ) = 0 {\displaystyle g(c)=0} を定義 (または再定義) する。 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は c {\displaystyle c} で連続であるが、定義より極限は c {\displaystyle c} に依存しないので極限は変化しない。極限値 lim x → c f ′ ( x ) / g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f'(x)/g'(x)\,} が存在するので、 x = c {\displaystyle x=c} を除いて g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} が非 0 であれば、区間 ( c − δ , c + δ ) {\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )} 内の全ての x {\displaystyle x} に対して f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} と g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} の双方が存在するようなその区間が存在する。 もし x {\displaystyle x} が区間 ( c , c + δ ) {\displaystyle (c,c+\delta )} にあれば、平均値の定理とコーシーの平均値の定理の両方を区間 [ c , x ] {\displaystyle [c,x]} に適用する。そして区間 ( c − δ , c ) {\displaystyle (c-\delta ,c)} と x {\displaystyle x} に対して同様に適用する。平均値の定理は g ( x ) {\displaystyle g(x)} が非 0 であることを意味する。でなければ、 g ′ ( y ) = 0 {\displaystyle g'(y)=0} であるような 区間 ( c , x ) {\displaystyle (c,x)} の y {\displaystyle y} が存在する。つまり、コーシーの平均値の定理は次の条件、 f ( x ) g ( x ) = f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}} を満たす区間 ( c , x ) {\displaystyle (c,x)} 内の ξ x {\displaystyle \xi _{x}} が存在することを意味する。もし x {\displaystyle x} が c {\displaystyle c} に近づくならば、 ξ x {\displaystyle \xi _{x}} は c {\displaystyle c} に近づく。 lim x → c f ′ ( x ) / g ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to c}f'(x)/g'(x)} が存在するので、次式を得る。 lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
※この「0/0形」の解説は、「ロピタルの定理」の解説の一部です。
「0/0形」を含む「ロピタルの定理」の記事については、「ロピタルの定理」の概要を参照ください。
- 0/0形のページへのリンク
