素数についての証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 19:14 UTC 版)
「二個の平方数の和」の記事における「素数についての証明」の解説
平方剰余の相互法則の補充法則により、 p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1\;(\operatorname {mod} \;4)} であれば r 2 ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle r^{2}\equiv -1\;(\operatorname {mod} \;p)} となる自然数 r {\displaystyle r} が存在する。 0 ≤ x i , y i < p {\displaystyle 0\leq {x_{i},y_{i}}<{\sqrt {p}}} とすると ( x i , y i ) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} の組み合せの個数は ( ⌊ p ⌋ + 1 ) 2> p {\displaystyle (\lfloor {\sqrt {p}}\rfloor +1)^{2}>p} である。従って、 ( x 1 , y 1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})} で x 1 − r y 1 ≡ x 2 − r y 2 ( mod p ) {\displaystyle {x_{1}-ry_{1}}\equiv {x_{2}-ry_{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)} となるものが存在する。 x = | x 1 − x 2 | , y = | y 1 − y 2 | {\displaystyle x=|x_{1}-x_{2}|,y=|y_{1}-y_{2}|} とすると x 2 ≡ r 2 y 2 ≡ − y 2 ( mod p ) x 2 + y 2 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{x^{2}}\equiv {r^{2}y^{2}}\equiv {-y^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\&{x^{2}+y^{2}}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p)\end{aligned}}} である。 x , y < p {\displaystyle x,y<{\sqrt {p}}} であるから 0 < x 2 + y 2 < 2 p {\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}<2p} であり、故に x 2 + y 2 = p {\displaystyle x^{2}+y^{2}=p} である。
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