最適停止問題
最適停止問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:25 UTC 版)
「ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式」の記事における「最適停止問題」の解説
次の最適停止問題を考える。 max τ E { ∫ 0 τ C ( t , X t ) d t + D ( X T ) 1 { τ = T } + F ( τ , X τ ) 1 { τ < T } } {\displaystyle \max _{\tau }\operatorname {E} \left\{\int _{0}^{\tau }C(t,X_{t})\,dt+D(X_{T})\mathbf {1} \{\tau =T\}+F(\tau ,X_{\tau })\mathbf {1} \{\tau <T\}\right\}} ここで 1 { ⋅ } {\displaystyle \mathbf {1} \{\;\cdot \;\}} は特性関数で { ⋅ } {\displaystyle \{\;\cdot \;\}} 内の事象が起きれば1、そうでなければ0を返す関数である。状態変数 ( X t ) t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,T]}\,\!} は次の確率微分方程式に従うとする。 d X t = μ ( t , X t ) d t + σ ( t , X t ) d w t {\displaystyle dX_{t}=\mu (t,X_{t})dt+\sigma (t,X_{t})dw_{t}} すると、価値関数 V ( x , t ) {\displaystyle V(x,t)} は次のHJB方程式の粘性解となる。 min { − ∂ V ( x , t ) ∂ t − A V ( x , t ) − C ( t , x ) , V ( x , t ) − F ( t , x ) } = 0 , {\displaystyle \min \left\{-{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}-{\mathcal {A}}V(x,t)-C(t,x),\quad V(x,t)-F(t,x)\right\}=0,} ただし、無限小生成作用素 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} は次のように表される。 A V ( x , t ) := μ ( t , x ) ∂ V ( x , t ) ∂ x + 1 2 ( σ ( t , x ) ) 2 ∂ 2 V ( x , t ) ∂ x 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}V(x,t):=\mu (t,x){\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\Big (}\sigma (t,x){\Big )}^{2}{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}} 終端条件は次式である。 V ( x , T ) = D ( x ) . {\displaystyle V(x,T)=D(x)\,\!.} 最適制御となる停止時刻（英語版）は次で与えられる。 τ ∗ := min { inf { t ∈ [ 0 , T ] : V ( X t , t ) = F ( t , X t ) } , T } {\displaystyle \tau ^{*}:=\min\{\inf\{t\in [0,T]\;:\;V(X_{t},t)=F(t,X_{t})\},\;T\}} 最適停止問題はアメリカンオプションの価格付け問題などで現れる。
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