曲線への応用

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曲線への応用

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/11/03 08:50 UTC 版)

「随伴公式 (代数幾何学)」の記事における「曲線への応用」の解説

平面曲線の種数次数公式(genus-degree formula)は、随伴公式より導くことができる。 C ⊂ P2 の次数が d で種数が g の滑らかな平面曲線とし、H を P2 の超曲面のクラス（つまり、直線のクラス）とすると、P2 の標準クラスは −3H である。結局、随伴公式は、C への (d − 3)H の制限と C の標準クラスが等しいことを言っている。この制限は、C へ制限された交叉積 (d − 3)H · dH が同じであり、従って、C の標準クラスの次数は、d(d − 3) である。リーマン・ロッホの定理により、g − 1 = (d − 3)d − g + 1 であり、この式は次の種数次数公式を意味する。 同様に、 C が二次曲面 P1×P1 上の滑らかな曲線で双次数(bidegree) (d1,d2) (この意味は d1, d2 は各々の P1 への射影の交叉次数を意味する）を持つ滑らかな曲線とすると、P1×P1 は双次数 (−2,−2) であるので、随伴公式より、C の標準クラスは双次数 (d1,d2) の因子の交叉積であり、(d1−2, d2−2) である。P1×P1 の交叉形式は、双次数の定義と双線型性により であるので、リーマン・ロッホの定理より となり、次の式を得る。 P3 の中の 2つの曲面 D と E の完全交叉（英語版）(complete intersection)である曲線 C の種数は、随伴公式を使い計算することができる。d と e をそれぞれ D と E の次数とすると、D へ随伴公式を適用して標準因子が (d − 4)H であり、これは (d − 4)H と D との交叉積である。C は完全交叉であるので、同じことを E へも施すと、C の標準因子は積 (d + e − 4)H · dH · eH である。つまり、次数 de(d + e − 4) である。リーマン・ロッホの定理により、このことは C の種数が であることを意味する。