接続 (ベクトル束)とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ウィキペディア

索引トップランキングカテゴリー

接続 (ベクトル束)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/19 06:32 UTC 版)

ベクトルバンドルの接続（せつぞく、英: connection）とは、微分幾何学の概念で、接ベクトルバンドルやより一般のベクトルバンドルに微分概念を定義する演算子である。接続に定義される微分概念を共変微分という。

脚注

出典

^ #Tu p.52.
^ ^a ^b #Tu p.49.
^ ^a ^b #Tu p.53.
^ 1⇒2は#Tu p.56、2⇒1は自明。1⇔3は#Tu p.58。3⇔4は自明。
^ ^a ^b #Tu p.55
^ #Andrews Lecture 10, p.2.
^ #Tu p.45.
^ #Andrews Lecture 8 p.74, Lecture 10 p.98.
^ #新井 p.304.
^ #Tu p.45.
^ 板場綾子「自己移入的Koszul多元環に対する有限条件(Fg) (有限群のコホモロジー論とその周辺)」『数理解析研究所講究録』第2061巻、京都大学数理解析研究所、2018年4月、33頁、CRID 1050001202603941760、hdl:2433/241849、ISSN 1880-2818、NAID 120006645349。
^ “Koszul duality for factorization algebras and extended topological field theories”. 2023年10月19日閲覧。
^ “２０２０年度幾何学 B アインシュタイン計量の幾何学 -リーマン幾何学入門とアインシュタイン計量の幾何学への応用-”. p. 75. 2023年10月19日閲覧。
^ #Spivak p.241.
^ José Figueroa-O'Farrill. “Lecture 5: Connections on principal and vector bundles”. PG course on Spin Geometry. p. 40. 2023年1月12日閲覧。
^ #森田 p.213.
^ #Tu p.72.
^ #小林 p.76.
^ #Wendl3 p.76.
^ #Kolar p.109.
^ #Koszul p.78.
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.119
^ “Linear connection”. Encyclopedia of Mathematics. 2023年10月17日閲覧。
^ #Tu p.75.
^ #小林 p.37.
^ #小林 p.38.
^ #Tu p.80.
^ #Andrews Lecture 8 p.74.
^ #Tu p.100.
^ 原文"There does not seem to be a good reason for calling $T(X,Y)$ the torsion."。#Tu p.44.
^ #Wendl4 p.101.
^ #Tu p.44.
^ ^a ^b #Tu p.100.
^ #Wendl4 p.102.
^ #小林 p.41.
^ ^a ^b ^c #小林 pp.40-41.
^ #Wang p.4.
^ 藤原彰夫『情報幾何学の基礎: 情報の内的構造を捉える新たな地平』共立出版、2021年5月31日、89頁。ISBN 978-4320114517。
^ #Wendl3 p.80/
^ ^a ^b #Tu p.263.
^ #Tu p.113.
^ #Tu p.263.
^ #Spivak p.251.
^ #小林 p.72.
^ #小林 p.74.
^ #Tu p.103.
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.138.
^ ^a ^b #Tu p.107.
^ #Tu p.115.
^ #Tu p.130.
^ #小林 p.89.
^ #Tu p.131.
^ #Berger p.227.
^ #Tu pp.117-118.
^ #小林 p.89.
^ #Tu p.118.
^ ^a ^b #Spivak p.271.
^ ^a ^b #Kobayashi-Nomizu-1 p.146
^ #新井 pp.324-326.
^ #Lee p.101.
^ #佐々木 pp.89-91.
^ #新井 pp.329-331.
^ #Tu p.138.
^ ^a ^b ^c ^d #小林 p.43.
^ Jeff A. Viaclovsky. “240AB Differential Geometry”. University of California, Irvine. p. 81. 2023年6月23日閲覧。なお添字の順番が引用元と異なっているが、これは $R_{ikj\ell }$ の添字の順番が引用元と異なっているからである。
^ ^a ^b #Tu p.80.
^ #小林 p.44.
^ #新井 p.272.
^ #Tu p.80
^ ^a ^b #Tu p.204.
^ #Wendl5 p.122.
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.145.
^ #小林 p.107.
^ #Tu p.84.
^ #新井 p.270
^ ^a ^b #Tu p.203.
^ ^a ^b ^c #Kobayashi-Nomizu-1 p.135.
^ #Tu p.91.
^ #Viaclovsky p.12.
^ ^a ^b ^c #Tu pp.204-207.
^ #Tu p.207.
^ #Lee p.118.
^ #Tu p.92.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Tu p.208-209.
^ #Carmo p.97.
^ #Carmo p.94.
^ #Carmo p.131.
^ #Prasolov p.203.
^ #Rani p.22.
^ #小林 p.45.

注釈

^ 人名「Koszul」を「コシュール」と訳している文献^[11]^[12]^[13]があるため、「コシュール接続」と読むと思われるが、「コシュール接続」と訳した文献を発見できなかったので本項では「Koszul接続」と表記した。なお、Wikipediaの英語版には「フランス語: [kɔsyl]」とある。
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.119では上述のように「線形接続」という言葉を接バンドルのフレームバンドル上の接続の意味で用いているが、p.129では「線形接続」がアフィン接続と1対1対応するのでアフィン接続と実質的に等価であるものの、必要に応じてこれらの言葉を使い分ける旨を述べている。一方、“Linear connection”. Encyclopedia of Mathematics. 2023年10月17日閲覧。ではアフィン接続が接バンドルのフレームバンドルに定める接続の意味で用いているが、上述のようにこれはアフィン接続と1対1対応する。
^ 成分 $\omega ^{i}{}_{j}$ 接続形式といい、 $ω$ を接続行列（英: connection matrix）と呼ぶ場合もある^[27]。
^ $R$ はテンソル $R P$ の場なので、 $R$ を「曲率テンソル場」（curvature tensor field）と言った方が自然に見えるが、本項執筆者が調べた範囲では、「曲率テンソル場」と呼んでいる文献は少なかったので、本項では慣用に従い「曲率テンソル」と呼ぶことにした。
^ ^a ^b 成分表示の添字の取り方は文献によって異なるので注意されたい。我々は#Kobayashi-Nomizu-1 p.144に従い、
$R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}=R^{i}{}_{jk\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$
としたが、#Viaclovsky p.11では
$R({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}=R_{ijk}{}^{\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}$
としている。
^ #Tu p.84.では $τ$ 自身ではなくその成分 $\tau ^{1},\ldots ,\tau ^{m}$ の事を捩率形式と呼んでいる。
^ $e_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ であれば $\theta ^{i}=dx^{i}$ であるが、必ずしも $e_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ でなくともよい^[74]。
^ $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ をサイクリックに回している。
^ 断面曲率との関係性を示すために両辺の分母を表記したが、両辺の分母は同一であるので、実際には分母は必要ない。
^ 厳密には以下の通りである。 $M$ の曲線 $c(t)$ に沿って定義された局所的な基底 $e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))$ を考え、 $e(0)$ を $c(t)$ に沿って平行移動したものを ${\bar {e}}(t)=({\bar {e}}_{1}(t),\ldots ,{\bar {e}}_{n}(t))$ として行列 $A(t)$ を $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ により定義すると、接続形式の定義より、 $e(0)\omega \left({dc \over dt}(0)\right)$ が成立する。ここで ${\nabla \over dt}e(t)$ は成分ごとの微分 $\left({\nabla \over dt}e_{1}(t),\ldots ,{\nabla \over dt}e_{n}(t)\right)$ の事である。 $\nabla$ が計量と両立すれば、 ${\bar {e}}(t)$ は正規直交基底である。よって $e(t)$ が正規直交基底であれば、 $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ より $A(t)$ は回転変換であり、 $A(t)$ の微分は歪対称行列である。