定義の整合性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)
定義の積分表示と極限表示が一致することを示す。 G n ( z ) = ∫ 0 n t z − 1 ( 1 − t n ) n d t {\displaystyle G_{n}(z)=\int _{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}}dt} とすれば lim n → ∞ ( 1 − t / n ) n = e − t {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{(1-t/n)^{n}}=e^{-t}} であるから直感的には lim n → ∞ G n ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{G_{n}(z)}=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt} である。（厳密にははさみうちの原理によって証明される）t = nu の置換により G n ( z ) = n z ∫ 0 1 u z − 1 ( 1 − u ) n d u {\displaystyle G_{n}(z)=n^{z}\int _{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}du} となる．nz を除く部分を gn(z) として g 0 ( z ) = ∫ 0 1 u z − 1 d u = [ u z z ] u = 0 1 = 1 z {\displaystyle g_{0}(z)=\int _{0}^{1}{u^{z-1}}du=\left[{\frac {u^{z}}{z}}\right]_{u=0}^{1}={\frac {1}{z}}} g n ( z ) = ∫ 0 1 ( u z z ) ′ ( 1 − u ) n d u = n z ∫ u = 0 1 u z ( 1 − u ) n − 1 d u = n z g n − 1 ( z + 1 ) {\displaystyle g_{n}(z)=\int _{0}^{1}{\left({\frac {u^{z}}{z}}\right)'(1-u)^{n}}du={\frac {n}{z}}\int _{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}du={\frac {n}{z}}g_{n-1}(z+1)} これにより G n ( z ) = n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) {\displaystyle G_{n}(z)={\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}} を得る。故に ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t = lim n → ∞ G n ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt=\lim _{n\to \infty }G_{n}(z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}} である。
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