定数係数の斉次常微分方程式の解法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/02 05:49 UTC 版)
「線型微分方程式」の記事における「定数係数の斉次常微分方程式の解法」の解説
ak を既知の定数とする斉次線型常微分方程式 d n y d x n + a n − 1 d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + a 0 y = 0 {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +a_{0}y=0} の左辺に対し、各 d ky/dx k を tk に置き換えて得られる多項式 F ( t ) = ∑ k = 0 n a k t k = t n + a n − 1 t n − 1 + ⋯ + a 0 {\displaystyle F(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}t^{k}=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{0}} をこの常微分方程式の特性多項式 (characteristic polynomial)、更に t の代数方程式 F(t) = 0 をこの常微分方程式の特性方程式 (characteristic equation) という。 ω を代数方程式 F(t) = 0 の根とすれば、指数関数 exp(ωx) は d kexp(ωx)/dx k = ωkexp(ωx) を満たすから、 F ( d d x ) e x p ( ω x ) = F ( ω ) e x p ( ω x ) = 0 {\displaystyle F\left({\frac {d}{dx}}\right){\rm {exp}}(\omega x)=F(\omega ){\rm {exp}}(\omega x)=0} となり、y = exp(ωx) は元の常微分方程式の解である。ただし、f(d/dx) は、多項式 f(t) の tk を d k/dx k に置き換えた微分作用素である。 特性多項式 F(t) が重根を持たなければ、線型代数学でよく知られた事実により集合 {exp(ωx) | ω は F(t) の根} は元の常微分方程式の解を生成する。重根を持つならば xexp(ωx) などがさらに必要となる。
※この「定数係数の斉次常微分方程式の解法」の解説は、「線型微分方程式」の解説の一部です。
「定数係数の斉次常微分方程式の解法」を含む「線型微分方程式」の記事については、「線型微分方程式」の概要を参照ください。
- 定数係数の斉次常微分方程式の解法のページへのリンク
