勾配方程式への帰着
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/19 08:12 UTC 版)
「非線形最小二乗法」の記事における「勾配方程式への帰着」の解説
我々が考えるべき問題は、標準化された残差平方和 S ( β ) = ∑ i = 1 m r i 2 2 σ i 2 = ∑ i = 1 m ( y i − f ( x i , β ) ) 2 2 σ i 2 {\displaystyle S({\boldsymbol {\beta }})=\sum _{i=1}^{m}{\frac {r_{i}^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {(y_{i}-f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }}))^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}}} (3-1) を最小とするようなパラメータ β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} を見つけることである。 このような β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} において、 S {\displaystyle S} の勾配 grad S {\displaystyle S} は 0 {\displaystyle 0} になる（必要条件）。したがって、このような β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} は、以下の連立方程式の解となる。 ∂ S ∂ β j = 2 ∑ i = 1 m r i ∂ r i ∂ β j = 0 ( j = 1 , … , n ) ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \beta _{j}}}=2\sum _{i=1}^{m}r_{i}{\frac {\partial r_{i}}{\partial \beta _{j}}}=0\quad (j=1,\dots ,n)\qquad (1)} (3-2)
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