列の置き換えとクラメルの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:38 UTC 版)
「余因子行列」の記事における「列の置き換えとクラメルの公式」の解説
「クラメルの公式」も参照 A の列ベクトル表示を A = ( a 1 ⋯ a n ) {\displaystyle A=({\boldsymbol {a}}_{1}\ \cdots \ {\boldsymbol {a}}_{n})} とし、b を n次列ベクトルとする。固定された 1 ≤ j ≤ n に対し、A の第 j列を b で置き換えた行列を次の記号で定義する： ( A ← j b ) = def ( a 1 ⋯ a j − 1 b a j + 1 ⋯ a n ) {\displaystyle (A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}_{1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{j-1}&{\boldsymbol {b}}&{\boldsymbol {a}}_{j+1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{n}\end{pmatrix}}} この行列の行列式を第j列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 adj(A)b に等しくなる： ( det ( A ← j b ) ) j = 1 n = adj ( A ) b {\displaystyle \left(\det(A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\right)_{j=1}^{n}=\operatorname {adj} (A){\boldsymbol {b}}} この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系 A x = b {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}} を考える。A を正則と仮定する。この方程式に左から adj(A) を掛け、det(A) (≠ 0) で割ると x = 1 det A ( adj A ) b {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {1}{\det A}}(\operatorname {adj} A){\boldsymbol {b}}} ここでクラメルの公式を適用すると、 x i = det ( A ← i b ) det A {\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A{\stackrel {i}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})}{\det A}}} ここで xi は x の第i成分である。
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