円錐管
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/13 04:12 UTC 版)
「ウェブスターのホルン方程式」の記事における「円錐管」の解説
円錐形の管の場合、断面積 S {\displaystyle S} は座標 x 2 {\displaystyle x^{2}} に比例する。対応するウェブスターのホルン方程式 − 1 c 2 ∂ 2 p ∂ t 2 + 1 x 2 ∂ ∂ x ( x 2 ∂ p ∂ x ) = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{x^{2}}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x^{2}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)=0} には平面波解 p ( t , x ) = 1 x ( A e i k x + B e − i k x ) {\displaystyle p(t,x)={\frac {1}{x}}(Ae^{ikx}+Be^{-ikx})} が存在する（ A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} は定数）。 なお、ウェブスターのホルン方程式から閉じた円錐管（一方の口が開き他方の口が閉じているもの）における音響共鳴条件が導かれる。管の閉じた口を x 1 {\displaystyle x_{1}} 、管の開いた口を x 2 {\displaystyle x_{2}} とおくと、（開口端補正を無視するとき）共鳴波数は k L = n π − tan − 1 k x 1 ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle kL=n\pi -\tan ^{-1}kx_{1}\ \ (n=1,2,\cdots )} により与えられる（ L = x 2 − x 1 {\displaystyle L=x_{2}-x_{1}} とおいた）。管がほぼ円柱とみなせるときにはこれは閉管における共鳴条件に帰着する一方で、管が完全な円錐であるときには開管の共鳴条件に一致する。
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