例: 期待値の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/03 02:15 UTC 版)
「等差×等比数列」の記事における「例: 期待値の計算」の解説
d = b = 1, a = 0, r = 1/2 で定まる算術幾何級数 S = 0 1 + 1 2 + 2 4 + 3 8 + 4 16 + 5 32 + ⋯ {\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots } は収束して S = 2 である。 この数列はコイントスにおいて「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。k-回目のトスで初めてテイルを得る確率 Tk は、 T 1 = 1 2 , T 2 = 1 4 , … , T k = 1 2 k {\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}} で与えられる。したがってトス回数の期待値は ∑ k = 1 ∞ k T k = ∑ k = 1 ∞ k 2 k = S = 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2} である。
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