交換子のフレドホルム行列式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/01 04:21 UTC 版)
「フレドホルム行列式」の記事における「交換子のフレドホルム行列式」の解説
(a, b) から G への関数 F(t) は、F(t) -I がトレースクラス作用素への写像として微分可能であるとき、すなわち、極限 F ˙ ( t ) = lim h → 0 F ( t + h ) − F ( t ) h {\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\rightarrow 0}{F(t+h)-F(t) \over h}} がトレースクラスノルムについて存在するとき、微分可能であると言われる。 g(t) を、トレースクラス作用素に値を取る微分可能関数とするとき、exp g(t) もそのような関数となり、 F − 1 F ˙ = i d − exp − a d g ( t ) a d g ( t ) ⋅ g ˙ ( t ) {\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={{\rm {id}}-\exp -{\rm {ad}}g(t) \over {\rm {ad}}g(t)}\cdot {\dot {g}}(t)} が成立する。ここで a d ( X ) ⋅ Y = X Y − Y X {\displaystyle {\rm {ad}}(X)\cdot Y=XY-YX} である。イスラエル・ゴーベルグ（英語版）とマーク・クライン（英語版）は、F が G への微分可能関数であるとき、f = det F は C* への微分可能写像で、 f − 1 f ˙ = T r F − 1 F ˙ {\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}={\rm {Tr}}F^{-1}{\dot {F}}} が成立することを証明した。この結果は、ジョエル・ピンカスとウィリアム・ヘルトンおよびロジャー・ハウ（英語版）によって、A と B が有界作用素で、その交換子 AB -BA がトレースクラスであるなら、 d e t e A e B e − A e − B = exp T r ( A B − B A ) {\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp {\rm {Tr}}(AB-BA)} が成立することの証明に用いられた。
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