ベクトルの射影を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 05:43 UTC 版)
「点と直線の距離」の記事における「ベクトルの射影を用いた証明」の解説
点P(x0, y0)と、ax + by + c =0で与えられる直線を考える。また、点Q(x1, y1)を直線上の任意の点とし、ベクトルn(a, b)を点Qを始点とする法線ベクトルとする。このとき、点Pと直線の距離dは、ベクトルQPをnに直交射影したものの長さと等しい。この射影したベクトルの長さは、 d = | Q P → ⋅ n | ‖ n ‖ . {\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.} となる。いま、 Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) , {\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),} なので、 Q P → ⋅ n = a ( x 0 − x 1 ) + b ( y 0 − y 1 ) {\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})} , ‖ n ‖ = a 2 + b 2 , {\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},} であるから、 d = | a ( x 0 − x 1 ) + b ( y 0 − y 1 ) | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.} 点Qが直線上の点であることと c = − a x 1 − b y 1 {\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}} から、 d = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
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