ベクトルを用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「ベクトルを用いた証明」の解説
△ABC において ‖ c → ‖ 2 = ‖ a → ‖ 2 + ‖ b → ‖ 2 {\displaystyle \Vert {\vec {c}}\|^{2}=\Vert {\vec {a}}\|^{2}+\Vert {\vec {b}}\|^{2}} であり c → = b → − a → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {b}}-{\vec {a}}} である。ここで ‖ c → ‖ 2 = c → ⋅ c → = ( b → − a → ) ⋅ ( b → − a → ) = ‖ b → ‖ 2 − 2 b → ⋅ a → + ‖ a → ‖ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert {\vec {c}}\|^{2}&={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\\&=({\vec {b}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})\\&=\Vert {\vec {b}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}+\Vert {\vec {a}}\|^{2}\\\end{aligned}}} である。したがって b → ⋅ a → = 0 {\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=0} である。よって ∠ C = π 2 {\displaystyle \angle {\text{C}}={\frac {\pi }{2}}} である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。
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