フロベニウスによるスカラーの制限と拡大
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 01:24 UTC 版)
「フロベニウス自己準同型」の記事における「フロベニウスによるスカラーの制限と拡大」の解説
φ : X → S を S-スキーム X の構造射とする。基本スキーム S はフロベニウス写像 FS を持っている。FS と結合 φ は、フロベニウスによるスカラーの制限と呼ばれる S-スキーム XF を結果する。スカラーの制限は、実際、S-射 X → Y はS-射 XF → YF を惹き起すので函手である。 例えば、標数 p > 0 の環 A と A 上の有限な代数 R = A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 , … , f m ) {\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})} を考える。R 上の A の作用は、 c ⋅ ∑ a α X α = ∑ c a α X α {\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha }} により与えられる。ここに α は多重インデックスとする。X = Spec R とすると、XF はアフィンスキーム Spec R であるが、構造射 Spec R → Spec A、つまり、R 上の A の作用は異なっている。 c ⋅ ∑ a α X α = ∑ F ( c ) a α X α = ∑ c p a α X α . {\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.} 何故ならば、フロベニウスによるスカラーの制限は単純な合成で、X の多くの性質はフロベニウス写像に対する適当な前提の下に XF により引き継がれるからである。例えば、X と SF が両方とも有限型であれば、XF も有限型である。 フロベニウスによるスカラーの拡張(extension of scalars by Frobenius)は X ( p ) = X × S S F {\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}} と定義される。S 要素への射影は、X(p) を S-スキームとする。S が脈絡が明らかではない場合、X(p) は X(p/S) と書かれる。スカラーの制限のように、スカラーの拡張は、函手である。S-射 X → Y は S-射 X(p) → Y(p) を決定する。 前にのべたように、環 A と A 上の有限生成な代数 R を考え、再び X = Spec R とおくと、 X ( p ) = Spec R ⊗ A A F {\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}} となる。X(p) の大域的切断は、 ∑ i ( ∑ α a i α X α ) ⊗ b i = ∑ i ∑ α X α ⊗ a i α p b i {\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i}} の形をしている。ここに α は多重インデックスで、全ての aiα と bi は A の元である。この切断上のでの A の元 c の作用は、 c ⋅ ∑ i ( ∑ α a i α X α ) ⊗ b i = ∑ i ( ∑ α a i α X α ) ⊗ b i c {\displaystyle c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c} である。結局、X(p) は、 Spec A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 ( p ) , … , f m ( p ) ) {\displaystyle \operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right)} と同型である。ここに、 f j = ∑ β f j β X β {\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta }} であれば、 f j ( p ) = ∑ β f j β p X β {\displaystyle f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }} である。任意の A-代数 R に対し同様なことが成り立つ。 スカラーの拡張はベースチェンジであるので、スカラーの拡張は極限や余積を保存する。特に、このことは X が（群スキームのように）有限の極限を持つことばの代数構造を持っているとすると、X(p) の形となることを意味する。さらにベースチェンジすることで、スカラーの拡大が有限タイプのときのように、有限表示、分離性、アフィン性などの性質を引き継ぐことを意味する。 スカラーの拡大は、ベースチェインジに対して、うまく振る舞う。射 S′ → S が与えられると、自然な同型: X ( p / S ) × S S ′ ≅ ( X × S S ′ ) ( p / S ′ ) {\displaystyle X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}} が存在する。
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