フィッシャー情報量の変形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 00:44 UTC 版)
「クラメール・ラオの限界」の記事における「フィッシャー情報量の変形」の解説
f ( x ; θ ) {\displaystyle f(x;\theta )} が θ {\displaystyle \theta } で2階偏微分可能であるとすると、フィッシャー情報量は I ( θ ) = E [ ( ∂ ∂ θ ln f ( X ; θ ) ) 2 ] = ∫ R f ( x ; θ ) 1 ( f ( x ; θ ) ) 2 ( ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 d x = − ∫ R f ( x ; θ ) f ( x ; θ ) ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ − ( ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ ) 2 ( f ( x ; θ ) ) 2 d x = − ∫ R f ( x ; θ ) ( ∂ 2 ∂ θ 2 ln f ( x ; θ ) ) d x = − E [ ∂ 2 ∂ θ 2 ln f ( X ; θ ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f(X;\theta )\right)^{2}\right]\\&=\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta ){\frac {1}{\left(f(x;\theta )\right)^{2}}}\left({\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}\,dx\\&=-\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta ){\frac {f(x;\theta ){\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}-\left({\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}}{\left(f(x;\theta )\right)^{2}}}\,dx\\&=-\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(x;\theta )\right)\,dx\\&=-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]\end{aligned}}} （3番目の等号の箇所で ∫ R ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ d x = ∂ ∂ θ ∫ R f ( x ; θ ) d x = ∂ ∂ θ ( 1 ) = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)=0} であることを用いた） と変形でき、クラメール・ラオの不等式は次のようにも書ける。 Var ( θ ^ ) ≥ 1 I ( θ ) = 1 − E [ ∂ 2 ∂ θ 2 ln f ( X ; θ ) ] {\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{I(\theta )}}={\frac {1}{-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]}}} こちらの公式の方が下限を評価するのにより有用な場合がある。
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