スカラーパラメータ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/17 08:32 UTC 版)
単一の実数パラメータに基づく指数型分布族では、 確率密度関数 （離散分布の場合は確率質量関数）が次の形式で表現できる。 f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp [ η ( θ ) ⋅ T ( x ) − A ( θ ) ] {\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )\right]}} ここで、 T ( x ) {\displaystyle T(x)} 、 h ( x ) {\displaystyle h(x)} 、 η ( θ ) {\displaystyle \eta (\theta )} 、 A ( θ ) {\displaystyle A(\theta )} はいずれも既知の関数である。 しばしば次のように同等の形式で記述される。 f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) g ( θ ) exp [ η ( θ ) ⋅ T ( x ) ] {\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\,g(\theta )\,\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)\right]}} 次のように記述しても同等である。 f X ( x ∣ θ ) = exp [ η ( θ ) ⋅ T ( x ) − A ( θ ) + B ( x ) ] {\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )+B(x)\right]}} θ {\displaystyle \theta } は指数型分布族のパラメータと呼ばれる。 η ( θ ) = θ {\displaystyle \eta (\theta )=\theta } の場合、指数型分布族は正準型（canonical form）であるという。変換後のパラメータ η = η ( θ ) {\displaystyle \eta =\eta (\theta )} をパラメータとして用いることにより、指数型分布族を正準型に変換することができる。 指数型分布族が正準型であるときのパラメータを自然パラメータ（natural parameter）と呼ぶ。
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