クーロン位置エネルギー汎函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/14 02:47 UTC 版)
「汎函数微分」の記事における「クーロン位置エネルギー汎函数」の解説
電位の古典的な部分に対して、トマスとフェルミはクーロン位置エネルギー汎函数 J [ ρ ] = 1 2 ∬ ρ ( r ) ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r d r ′ = ∫ ( 1 2 ∫ ρ ( r ) ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ ) d r = ∫ j [ r , ρ ( r ) ] d r {\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'=\int \left({\frac {1}{2}}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\right)d{\boldsymbol {r}}=\int j[{\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}})]\,d{\boldsymbol {r}}} を採用した。やはり J[ρ] は電荷密度 ρ のみに依存して、その各種高階導函数に依存しない（つまり局所的汎函数である）から δ J [ ρ ] δ ρ ( r ) = ∂ j ∂ ρ ( r ) = 1 2 ∫ ∂ ∂ ρ ( r ) ρ ( r ) ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ = ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ {\displaystyle {\frac {\delta J[\rho ]}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial j}{\partial \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{2}}\int {\frac {\partial }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}})}}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}'=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}'} が得られる。クーロン位置エネルギー汎函数の二階汎函数微分は δ 2 J [ ρ ] δ ρ ( r ′ ) δ ρ ( r ) = ∂ ∂ ρ ( r ′ ) ρ ( r ′ ) | r − r ′ | = 1 | r − r ′ | {\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}={\frac {1}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}} となる。
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