クラインによる解法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/09 22:23 UTC 版)
五次方程式を正20面体方程式（60次方程式）に帰着させ、正20面体方程式の解は超幾何関数で示される。 正20面体を二次元球面 S2に内接。二次元球面 S2とリーマン球面（複素射影直線）を同一視。複素射影直線の斉次座標を z 1 , z 2 ( z = z 1 / z 2 ) {\displaystyle z_{1},z_{2}(z={z_{1}}/{z_{2}})} とし、以下の式を得る。 f = z 1 z 2 ( z 1 10 + 11 z 1 5 z 2 5 − z 2 10 ) , {\displaystyle f=z_{1}z_{2}(z_{1}^{10}+11z_{1}^{5}z_{2}^{5}-z_{2}^{10}),} H = − ( z 1 20 + z 2 20 ) + 228 ( z 1 15 z 2 5 − z 1 5 z 2 15 ) − 494 z 1 10 z 2 10 , {\displaystyle H=-(z_{1}^{20}+z_{2}^{20})+228(z_{1}^{15}z_{2}^{5}-z_{1}^{5}z_{2}^{15})-494z_{1}^{10}z_{2}^{10},} T = ( z 1 30 + z 2 30 ) + 522 ( z 1 25 z 2 5 − z 1 5 z 2 25 ) − 10005 ( z 1 20 z 2 10 + z 1 10 z 2 20 ) . {\displaystyle T=(z_{1}^{30}+z_{2}^{30})+522(z_{1}^{25}z_{2}^{5}-z_{1}^{5}z_{2}^{25})-10005(z_{1}^{20}z_{2}^{10}+z_{1}^{10}z_{2}^{20}).} これらを用いて q ( z ) = H ( z 1 , z 2 ) 3 1728 f ( z 1 , z 2 ) 5 = H ( z , 1 ) 3 1728 f ( z , 1 ) 5 {\displaystyle q(z)={\frac {H(z_{1},z_{2})^{3}}{1728f(z_{1},z_{2})^{5}}}={\frac {H(z,1)^{3}}{1728f(z,1)^{5}}}} となり、 q ( z ) = u {\displaystyle q(z)=u} は60次の方程式、いわゆる正20面体方程式 ( ( z 20 + 1 ) − 288 ( z 15 − z 5 ) + 494 z 10 ) 3 + 1728 u z 5 ( z 10 + 11 z 5 − 1 ) 5 = 0 {\displaystyle ((z^{20}+1)-288(z^{15}-z^{5})+494z^{10})^{3}+1728uz^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^{5}=0} となる。逆を求めると z = F ( 11 60 , 31 60 , 6 5 ; 1 u ) 1728 5 F ( − 1 60 , 19 60 , 4 5 ; 1 u ) {\displaystyle z={\frac {F({\frac {11}{60}},{\frac {31}{60}},{\frac {6}{5}};{\frac {1}{u}})}{{\sqrt[{5}]{1728}}F(-{\frac {1}{60}},{\frac {19}{60}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{u}})}}}
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