カイラル表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/01 08:02 UTC 版)
カイラル表現、或いはワイル表現において、 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} 、 γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} 、および σ μ ν {\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }} は γ 0 = [ 0 1 1 0 ] , γ j = [ 0 σ j − σ j 0 ] , γ 5 = [ − 1 0 0 1 ] , σ 0 j = [ − i σ j 0 0 i σ j ] , σ j k = ϵ i j k [ σ i 0 0 σ i ] {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}},~\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\\\end{bmatrix}},~\gamma _{5}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{0j}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{j}&0\\0&i\sigma _{j}\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{jk}=\epsilon _{ijk}{\begin{bmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\\\end{bmatrix}}} となる。 カイラル表現では、 γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} (カイラリティー)が対角化されており、射影演算子は P L = [ 1 0 0 0 ] , P R = [ 0 0 0 1 ] {\displaystyle P_{L}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}},~P_{R}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}} となる。つまり、左右の成分が上下2成分ずつに分かれた表示である。 ψ = [ ξ η ¯ ] {\displaystyle \psi ={\begin{bmatrix}\xi \\{\bar {\eta }}\\\end{bmatrix}}} ψ L = [ ξ 0 ] , ψ R = [ 0 η ¯ ] {\displaystyle \psi _{L}={\begin{bmatrix}\xi \\0\\\end{bmatrix}},~\psi _{R}={\begin{bmatrix}0\\{\bar {\eta }}\\\end{bmatrix}}} カイラル表現は次の直積表現に相当する。 γ 0 = σ 1 ⊗ 1 , γ j = i σ 2 ⊗ σ j , γ 5 = − σ 3 ⊗ 1 , σ 0 j = − i σ 3 ⊗ σ j , σ j k = 1 ⊗ ϵ i j k σ i {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{1}\otimes 1,~\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j},~\gamma _{5}=-\sigma _{3}\otimes 1,~\sigma ^{0j}=-i\sigma _{3}\otimes \sigma _{j},~\sigma ^{jk}=1\otimes \epsilon _{ijk}\sigma _{i}} カイラル表現とディラック表現は次の相似変換で結ばれる。 γ chiral μ = U γ Dirac μ U † , U = 1 2 ( 1 − γ 5 γ 0 ) = 1 2 [ 1 − 1 1 1 ] {\displaystyle \gamma _{\operatorname {chiral} }^{\mu }=U\,\gamma _{\operatorname {Dirac} }^{\mu }\,U^{\dagger },\quad U={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1-\gamma _{5}\gamma _{0})={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\\end{bmatrix}}}
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