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アディティブ・シンセシス

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音響信号処理における加算合成（かさんごうせい、英: additive synthesis）は複数の純音を重ね合わせ（加算して）音響信号を合成する、音声合成の一種である^[1]^[2]。アディティブ・シンセシスとも呼ばれる。対比される合成手法に減算合成がある。

脚注

注釈

^ Papoulis 1977, p. 184の $\sigma \,$ は帯域制限幅に相当し、Kwakernaak & Sivan 1991, p. 613-614に見られるように、しばしば基本周波数 $\omega _{0}=2\pi f_{0}\,$ を基準に用いる。
^ 振幅エンベロープ（瞬時振幅）の周波数スペクトル（振幅スペクトル）は、振幅変調を介して信号スペクトルに以下の形で寄与する：
$f_{c}[k]\pm f_{m}[\kappa ]\,$

$f_{c}[k]\,$ ：元信号の $k\,$ 次パーシャル成分の周波数

$f_{m}[\kappa ]\,$ ：瞬時振幅の $\kappa \,$ 次パーシャル成分の周波数
例えばオルガンのように急激なon/offを伴う振幅スペクトルは、矩形波と同様な幅広い周波数成分を含み、結果的にon/off時にクリック音が発生する。これを防ぐには、振幅スペクトルの可聴帯域への寄与が等ラウドネス曲線上で目立たなくなるよう、例えば振幅スペクトルを数十Hz以下に帯域制限し、結果的に形状が鈍った振幅エンベロープを使う事になる。なおこの方法では鋭いアタックを持つ音を実現できないので、必要に応じアタック部に過渡モデルを併用する事になる。（関連：Smith III 2011, Sines + Noise + Transients Models）
^ 直感的説明：波の伝播速度 $v\,$ に基づく周波数の定義 $f=v/\lambda \,$ は、単位時間 $\Delta t=1\,$ に波が距離 $v\,$ 伝播し、その区間に波長 $\lambda \,$ の波が $f\,$ 周期分並ぶ事を意味する。この式が与える $f\,$ は単位時間 $\Delta t\,$ 内の平均周波数（より正確には瞬時周波数の定積分）と解釈できる。ここで波の表式を $y(t)=r\cos(2\pi f\cdot t+\phi )\,$ とすると、瞬時位相（余弦関数の偏角）は $\theta (t)=2\pi f\cdot t+\phi \,$ で与えられ、 $f\,$ は下記のように差分形式で表現できる：
${\begin{aligned}f&={\frac {(f\cdot (t+\Delta t)+\phi /2\pi )-(f\cdot t+\phi /2\pi )}{\Delta t}}\end{aligned}}$
上記式で周波数 $f\,$ を瞬時周波数 $f(t)\,$ に置き換え、極限 $\Delta t\to 0\,$ をとると、瞬時周波数 $f(t)\,$ と瞬時位相 $\theta (t)\,$ の関係式が導かれる：
${\begin{aligned}f(t)&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {(f(t+\Delta t)\cdot (t+\Delta t)+\phi /2\pi )-(f(t)\cdot t+\phi /2\pi )}{\Delta t}}\\&={\frac {d(f(t)\cdot t+\phi /2\pi )}{dt}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\theta (t)}{dt}}\end{aligned}}$
上記関係式より、周波数が時間発展する波の表式は、瞬時周波数を使い次のように表される：
$y(t)=r\cos(\theta (t))=r\cos \left(2\pi \int _{-\infty }^{t}f(u)du\right)=r\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f(u)du+\phi \right)$
^ 原文：“frequencies that evenly divide the transform period”
^ 原文: “the final tones were built up by combining sound waves”
^ 離散時間形式の瞬時周波数 $\textstyle {f_{k}[n]=\int _{(n-1)/f_{\mathrm {s} }}^{n/f_{\mathrm {s} }}f_{k}(u)du}\,$ は後退差分で計算される。

出典

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詳細は「アディティブ・シンセシス」を参照ここでは狭義の加算合成、音の要素である倍音に着目し、倍音一つ一つの強度の時間変化を設定して音色を合成する加算合成方式について説明する。このような形式のデジタルシンセサイザーの例として河合楽器製作所のK5、K5m、K5000R、K5000S、K5000Mが挙げられる。なお、K5シリーズ,K5000シリーズは倍音を減ずる為のフィルタも内蔵している為、単純に倍音加算だけで音出力を得ている訳ではない。スペクトログラムの逆変換の一例でもあり、ソフトウェア・シンセサイザーによる音源の実装例もある。

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