''j''-不変量

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j-不変量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/26 02:30 UTC 版)

複素平面内のクラインの j-不変量

数学では複素変数 τ の函数であるフェリックス・クラインの j-不変量 (j-invariant)（もしくはj-函数）とは、複素数の上半平面上に定義された SL(2, Z) のウェイト 0 のモジュラー函数である。j-不変量として、尖点で一位の極を持つ以外は正則な関数であり、次を満たすものが一意に定まる。

${\displaystyle j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i)=1728}$

上半平面上に作用するモジュラ群の基本領域

2つの変換 τ → τ + 1 と τ → -τ⁻¹ はモジュラ群と呼ばれる群を生成し、この群は射影特殊線型群 PSL(2, Z) と同一視できる。この群に属する適当な変換

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$

を選択することにより、τ を j の基本領域（英語版）(fundamental region)内にあり j に対して同じ値をとる、ある値に帰着させることができる。基本領域は次の条件を満たす τ から構成されている。

${\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}.}$

函数 j (τ) をこの領域へ制限すると、複素数 C のすべての値をちょうど一度だけ取る。言い換えると、C すべての元 c に対し、c = j(τ) となる基本領域の元 τ が一意に存在する。このように、j は基本領域を全複素平面へ写像するという性質を持っている。

リーマン面として、基本領域の種数は 0 であり、すべての（レベル 1 の）モジュラー函数は j の有理函数であり、逆に、j のすべての有理函数はモジュラー函数である。言い換えると、モジュラー函数全体のなす体は C(j) である。

類体論と j-不変量

j-不変量は、多くの注目すべき性質を有する。

• τ が虚数乗法である、すなわち、虚数部が正である虚二次体の任意の元である（従って、j-不変量が定義される）ならば、j(τ) は代数的整数である^[1]。

• 体の拡大 Q[j (τ), τ]/Q(τ) はアーベル的、すなわち、ガロア群がアーベル的になる。

• Λ を {1, τ} で生成される C の中の格子とすると、乗法の下に Λ を固定する Q(τ) のすべての元が、整環（英語版）(order)と呼ばれる環の単位元(unit)を形成することが容易にわかる。同様に、同じ整環の生成子 {1, τ′} を持つ格子は、Q(τ) 上で j (τ) の代数的共役である j (τ') を定義する。包含関係に従い、Q(τ) の唯一の最大整環は、Q(τ) の代数的整数の環であり、その環を持つ τ の値は、Q(τ) の不分岐拡大を導く。

これらの古典的な結果は、虚数乗法論の出発点となっている。

超越的性質

1937年、テオドール・シュナイダー（英語版）(Theodor Schneider)は、前述の τ が上半平面で二次の無理数であれば j(τ) は代数的数であるということを証明した。加えて、 τ が代数的数だが虚二次体の数でないならば、j(τ) は超越数であることをも証明した。

j-函数は数多くの超越的性質を持つ。クルト・マーラー（英語版）(Kurt Mahler)はマーラー予想とも呼ばれる特別な超越性を予想し、1990年代にユーリ・ネステレンコ(Yu. V. Nesternko)とパトリス・フィリポン(Patrice Phillipon)の結果の系として証明された。マーラー予想とは、τ が上半平面にあればexp(2πiτ) と j(τ) は双方が同時に代数的にはならないであろうという予想である。現在はより強い結果が知られていて、例えば、exp(2πiτ) が代数的であれば次の 3つの数は代数的に独立で、超越数になる。

${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}.}$

q-展開とムーンシャイン

j の注目すべき性質のいくつかは、q = exp(2πiτ) でのローラン級数として書かれるq-展開（フーリエ級数展開）に関連している。q-展開は、

${\displaystyle j(\tau )={1 \over q}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }$

で始まっている。

なお、 j は尖点で一位の単純極を持つので、q-展開には q⁻¹ 未満の項がない。

このフーリエ係数はすべて整数であり、このことがいくつかの概整数、例えば有名なラマヌジャン定数（英語版）(Ramanujan's constant)の理由となる。

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}$

qⁿ の係数の漸近公式（英語版）(asymptotic formula)は、ハーディ・リトルウッドの円周法（英語版）(Hardy–Littlewood circle method)で示すことができたように、

${\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}n^{3/4}}}}$,

により与えられる。^[2][3]

ムーンシャイン

詳細は「モンストラス・ムーンシャイン」を参照

さらに注目すべきは、q の正のべき乗の項のフーリエ係数がムーンシャイン加群（英語版）(moonshine module)と呼ばれるモンスター群の無限次元次数付き代数表現の次数部の次元であることである。特に、qⁿ の係数は、ムーシャイン加群の次数 n の次元となっている。第一の例はグライス代数（英語版）(Griess algebra)であり、この代数は次元 196,884 で、項196884q に対応している。この驚くべき観察がムーンシャイン理論の出発点であった。

ムーンシャイン予想の研究は、ジョン・ホートン・コンウェイとシモン・ノートン（英語版）(Simon P. Norton)により種数 0 のモジュラ函数を見つけることに発展した。ジョン・G・トンプソンは、

${\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}$

という形式に正規化される種数 0 のモジュラ函数が、有限個しか存在しないことを証明した。

別の表現

λ をモジュララムダ函数（英語版）(modular lambda function)とし、x = λ(1−λ) と置くと

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-x)^{3}}{x^{2}}}}$

を得る。

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=k^{2}(\tau )}$

は、ヤコビのテータ函数 ${\displaystyle \theta _{m}}$ の比率であり、楕円モジュラス ${\displaystyle k(\tau )}$ の二乗である。^[4] λ が次の非調和比(cross-ratio)の 6つの値で入れ替わるときは、j の値は不変である^[5]。

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace .}$

j の分岐点は {0, 1, ∞} であるので、ベリイ函数（英語版）(Belyi function)である^[6]。

テータ函数による表現

${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ （ノーム）と定義し直すと、ヤコビのテータ函数

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

から指標付きテータ函数を導くことができる。次のように置くこととする。

${\displaystyle a=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )}$

${\displaystyle b=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )}$

${\displaystyle c=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )}$

ここに ${\displaystyle \theta _{m}}$ と ${\displaystyle \vartheta _{n}}$ は記法を変えたものとした。すると、ヴァイエルシュトラス定数 g₂, g₃ とデデキントのエータ函数 η(τ) に対して、

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}}$

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}$

となる。このようにすると、j (τ) を早く計算できる形に書き換えることができる。

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3} \over (abc)^{8}}.}$

ただし、

${\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0}$

であることに注意する。

代数的定義

今までは、j を複素変数の函数として考えてきたが、楕円曲線の同型類の不変量としては、j を純粋に代数的に定義することもできる。

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

を任意の体の上の平面楕円曲線とすると、

${\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}}$

${\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2}}$

${\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}}$

と定義することができ、

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}}$

と表すと、これは楕円曲線の判別式を表している。

ここで、楕円曲線の j-不変量を

${\displaystyle j={c_{4}^{3} \over \Delta }}$

と定義する。

楕円曲線が定義されている体の標数が 2 もしくは 3 でない場合に、この定義は

${\displaystyle j=1728{c_{4}^{3} \over c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}$

と書き直すことができる。

逆函数

j-不変量の逆函数は、超幾何函数 ₂F₁ で表すこともできる（ピカール・フックス方程式（英語版）(Picard–Fuchs equation)も参照）。与えられた数値 N に対して 式 j(τ) = N を τ について解くためには、少なくとも 4つの方法が知られている。

方法 1: モジュララムダ函数（英語版）(modular lambda function) λ の6次式を解く方法。

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}.}$

x = λ(1−λ) とすると 6次式は x の 3次式となる。すると、λ の 6つの値のどれに対しても、

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1,1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1,\lambda \right)}}}$

となる。

方法 2: γ の 4次式を解く方法。

${\displaystyle j(\tau )={\frac {27(1+8\gamma )^{3}}{\gamma (1-\gamma )^{3}}}.}$

任意の 4つの根に対して、

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1,1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1,\gamma \right)}}}$

となる。

方法 3: β の 3次式を解く方法。

${\displaystyle j(\tau )={\frac {64(1+3\beta )^{3}}{\beta (1-\beta )^{2}}}.}$

すると、任意の 3つの根に対し、

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1,1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1,\beta \right)}}}$

となる。

方法 4: α の 2次式を解く方法。

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}.}$

すると、

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1,1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1,\alpha \right)}}}$

となる。

2つの根は τ と -1/τ であるが、j (τ) = j (-1/τ) であるために、どの α を選んでも差異はない。後半 3つの方法は、ラマヌジャンの交代基底についての楕円函数論で発見された。

逆函数は、これらの根の比率が有界でないにもかかわらず、楕円函数の周期の高精度な計算を通して、うまく適用することが可能である。また、関連する帰結として、2 のべきの大きさをもつ虚数軸上の点で j の値が二次の根となることを通して（逆関数を）表すことができる（このようにして、定規とコンパスによる作図が可能となる）。レベルが 2 のモジュラ函数は 3次式であるので、この結果は自明ではない。

π公式

チュダノフスキー兄弟（英語版）(Chudnovsky brothers)は、1987年に、

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}$

を発見し、${\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}}$ という事実を示すことに使用した。同様な公式は、ラマヌジャン・佐藤級数（英語版）(Ramanujan-Sato series)を参照。

ボーチャーズの積公式

次はリチャード・ボーチャーズによって発見された^[7]。

${\displaystyle j(\tau )-j(\tau ')={1 \over q}\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-q^{n}{q'}^{m})^{c_{nm}}}$

である（ここでc_nはj関数のq展開におけるq^nの係数）．

特殊値

j-不変量は、基本領域（英語版）(fundamental domain)の「角」

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}$

では 0 となる。

以下に、いくつかの特殊値を示す（J = j/1728 を使って表示している）^{[疑問点 – ノート]}。

${\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&={\big (}{\tfrac {5}{3}}{\big )}^{3}\\J(2i)&={\big (}{\tfrac {11}{2}}{\big )}^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{128}}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{5}\left(17+7{\sqrt {3}}+59{\sqrt {7}}+35{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7+5{\sqrt {2}}+3{\sqrt {5}}+2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7+5{\sqrt {2}}-3{\sqrt {5}}-2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7-5{\sqrt {2}}+3{\sqrt {5}}-2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\left(7-5{\sqrt {2}}-3{\sqrt {5}}+2{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J(5i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {5}}\left(13+5{\sqrt {5}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i+1}{2}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {5}}\left(13-5{\sqrt {5}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(6i)&={\tfrac {1}{216}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{10}\left(231+380{\sqrt {3}}+\left(204+158{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{4}]{12}}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {94}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8192}}\left(3+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}\right)^{8}\left(8+\left(-1-{\sqrt {2}}+{\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}\right)\left(-2+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3+4{\sqrt {2}}+3{\sqrt {9+8{\sqrt {2}}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{32}}{\sqrt[{4}]{28}}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{3}\left(13+3{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt[{4}]{28}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {130}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(7392+3289{\sqrt {5}}+2040{\sqrt {13}}+917{\sqrt {65}}\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {190}}i)&=\left(1+18\left(31570+22323{\sqrt {2}}+14139{\sqrt {5}}+9998{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$

2014年にはいくつかの特殊値が計算された^[8]。

${\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+2}{4}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485-762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}-3072{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(178-2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}-1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {10i+1}{2}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485-762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}-3072{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(178-2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}-1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{4}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485+762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}+3072{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(178+2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}+1289{\sqrt {10}}\right){\Big )}^{2}\right)^{3}\\J(20i)&=\left(1+{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485+762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}+3072{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(178+2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}+1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\end{aligned}}}$

これ以前に示したすべての値は実数である。複素共役のペアは、${\displaystyle J(10i)}$ と ${\displaystyle J(5i/2)}$ に対し、参考文献のように値に沿って、上記のように対称的になっていると推察される。

${\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i\pm 1}{4}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9}{8}}\left((2402-1074{\sqrt {5}})i\pm (1607-719{\sqrt {5}}){\sqrt[{4}]{5}}\right)^{2}\right)^{3}\end{aligned}}}$

4つの特殊値は、2つの複素共役のペアにより与えられる^[9]。

${\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {4\left(5i\pm 1\right)}{13}}\right)=\left(1-{\tfrac {9\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485-762{\sqrt {2}}-1479{\sqrt {5}}+3072{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(178-2221{\sqrt {2}}-3148{\sqrt {5}}+1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5\left(4i\pm 1\right)}{17}}\right)=\left(1+{\tfrac {9\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485+762{\sqrt {2}}-1479{\sqrt {5}}-3072{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(178+2221{\sqrt {2}}-3148{\sqrt {5}}-1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\end{aligned}}}$

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• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), “Monstrous moonshine”, Bulletin of the London Mathematical Society 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR0554399 . Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
• Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, MR0498390 . Provides a short review in the context of modular forms.
• Schneider, Theodor (1937), “Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale”, Math. Annalen 113: 1–13, doi:10.1007/BF01571618, MR1513075 .