ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数 ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数の概要

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ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/12 16:22 UTC 版)

定義

固有値 $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ のラプラス-ベルトラミ作用素 Δ を持つ N 次元コンパクトリーマン多様体 M に対して、作用素 Δ のゼータ函数が、$\operatorname {Re} (s)$ が十分大きい s について

$Z(s)=\operatorname {Tr} (\Delta ^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\vert \lambda _{n}\vert ^{-s}.$

で与えられる（ここにもし固有値がゼロであれば、この和から除外する）．多様体が境界を持つ場合は、ディリクレ条件やノイマン条件のような適当な境界条件を課さねばならない．

さらに一般的には、多様体上の点 P と Q について

$Z(P,Q,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{n}(P)f_{n}(Q)}{\lambda _{n}^{s}}}$

とゼータ函数を定義することができる．ここに f_n は正規化された固有函数である．この定義は全複素数 s について s の有理型函数へと解析接続され、P≠Q では正則である。

ありうる極は一位の極だけで、N が奇数のときは、s = N/2, N/2−1, N/2−2,..., 1/2,−1/2, −3/2,... で極を持ち、N が偶数のときは、s = N/2, N/2−1, N/2−2, ...,2, 1 で極を持つ．N が奇数のときは Z(P,P,s) は s = 0, −1, −2,... でゼロとなる．N が偶数のときは、ウィーナー＝池原の定理から、系として明らかに値を得ることができ、関係式

$\displaystyle Z(P,P,s)\sim {\frac {T^{N/2}}{(2{\sqrt {\pi }})^{N}\Gamma (N/2+1)}}$

を得る．ここに記号～は T が +∞ へ近づくときに、両辺の商が 1 へ近づくことを意味する．

函数 Z(s) はこの式より、Z(P,P,s) を多様体 M 全体を渡り積分することにより得られる．

$\displaystyle Z(s)=\int _{M}Z(P,P,s)dP$

熱核

ゼータ函数の解析接続は、熱核の式

$K(P,Q,t)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(P)f_{n}(Q)e^{-\lambda _{n}t}$

により、メリン変換

$Z(P,Q,s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }K(P,Q,t)t^{s-1}dt$

として、表現することができる．

熱核の場合には、リーマン多様体 (M,g) が与えられると、固有函数の正規直交基底を取ることができて、分配函数

$Z(s)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\lambda _{i}s}.$

を得る．

ゼータ函数の極は、t → 0 での熱核の漸近的振る舞いから得ることができる．