ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数 応用

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ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/12 16:22 UTC 版)

応用

漸近展開による熱核の方法をリーマン多様体 (M,g) へ適用すると、次の2つの定理を得る．双方とも逆問題の解であり、作用素のスペクトルから幾何学的性質を得る．

1,ミナクシサンドラム-プレイジェル漸近展開

(M,g) を n-次元リーマン多様体とする．すると次の漸近展開が t → 0+ で成り立つ．

$Z(s)\sim (4\pi s)^{-n/2}\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}s^{m}.$

次元が2の場合は、これはスカラー曲率の積分が M のオイラー標数(Euler characteristic)となっていることを意味している．これはガウス-ボネの定理(Gauss-Bonnet Theorem)である．

特に、

$a_{0}=Vol(M,g),\ \ \ \ a_{1}={\frac {1}{6}}\int _{M}S(x)dV$

であり、ここに S(x) は M のスカラー曲率で、リッチ曲率のトレースである．

2,ワイルの漸近公式

M をコンパクトリーマン多様体で、固有値 $0=\lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\cdots ,$ を持っているとする．ここに固有値は多重度の分、各々の固有値を繰り返すものとする．N(λ) で値が λ よりも小さな固有値の数を表すとするとして、$\omega _{n}$ で $\mathbb {R} ^{n}$ の中の単位ディスクの体積を表すとする．すると、

$N(\lambda )\sim {\frac {\omega _{n}Vol(M)\lambda ^{n/2}}{(2\pi )^{n}}},$

が、λ → ∞ に対して成り立つ．加えて、k → ∞ に対しては、

$(\lambda _{k})^{n/2}\sim {\frac {(2\pi )^{n}k}{\omega _{n}Vol(M)}}.$

が成り立つ．これはワイルの法則(Weyl's formula)とも呼ばれ、ミナクシサンドラム-プレイジェルの漸近展開の精密化でもある．