アフィンルート系 アフィンルート系の概要

ウィキペディア

アフィンルート系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/20 06:42 UTC 版)

G₂ 型のアフィンルート系．

分類

アフィンルート系 A₁ = B₁ = B∨
1 = C₁ = C∨
1 は同じであり，また B₂ = C₂, B∨
2 = C∨
2, A₃ = D₃ である．

表で与えられている軌道の個数はワイル群の下での単純ルートの軌道の個数である．ディンキン図形において，被約でない単純ルート α（で 2α がルートのもの）は緑色に塗られている．系列の最初のディンキン図形は他のと同じ規則に従わないことがある．

アフィンルート系	軌道の個数	ディンキン図形
An (n ≥ 1)	2 if n = 1; 1 if n ≥ 2	, , , , ...
Bn (n ≥ 3)	2	, ,, ...
B∨ n (n ≥ 3)	2	, ,, ...
Cn (n ≥ 2)	3	, , , ...
C∨ n (n ≥ 2)	3	, , , ...
BCn (n ≥ 1)	2 if n = 1; 3 if n ≥ 2	, , , , ...
Dn (n ≥ 4)	1	, , , ...
E6	1
E7	1
E8	1
F4	2
F∨ 4	2
G2	2
G∨ 2	2
(BCn, Cn) (n ≥ 1)	3 if n = 1; 4 if n ≥ 2	, , , , ...
(C∨ n, BCn) (n ≥ 1)	3 if n = 1; 4 if n ≥ 2	, , , , ...
(Bn, B∨ n) (n ≥ 2)	4 if n = 2; 3 if n ≥ 3	, , ,, ...
(C∨ n, Cn) (n ≥ 1)	4 if n = 1; 5 if n ≥ 2	, , , , ...

階数による既約アフィンルート系

Rank 1: A₁, BC₁, (BC₁, C₁), (C∨
1, BC₁), (C∨
1, C₁).

Rank 2: A₂, C₂, C∨
2, BC₂, (BC₂, C₂), (C∨
2, BC₂), (B₂, B∨
2), (C∨
2, C₂), G₂, G∨
2.

Rank 3: A₃, B₃, B∨
3, C₃, C∨
3, BC₃, (BC₃, C₃), (C∨
3, BC₃), (B₃, B∨
3), (C∨
3, C₃).

Rank 4: A₄, B₄, B∨
4, C₄, C∨
4, BC₄, (BC₄, C₄), (C∨
4, BC₄), (B₄, B∨
4), (C∨
4, C₄), D₄, F₄, F∨
4.

Rank 5: A₅, B₅, B∨
5, C₅, C∨
5, BC₅, (BC₅, C₅), (C∨
5, BC₅), (B₅, B∨
5), (C∨
5, C₅), D₅.

Rank 6: A₆, B₆, B∨
6, C₆, C∨
6, BC₆, (BC₆, C₆), (C∨
6, BC₆), (B₆, B∨
6), (C∨
6, C₆), D₆, E₆,

Rank 7: A₇, B₇, B∨
7, C₇, C∨
7, BC₇, (BC₇, C₇), (C∨
7, BC₇), (B₇, B∨
7), (C∨
7, C₇), D₇, E₇,

Rank 8: A₈, B₈, B∨
8, C₈, C∨
8, BC₈, (BC₈, C₈), (C∨
8, BC₈), (B₈, B∨
8), (C∨
8, C₈), D₈, E₈,

Rank n (n>8): A_n, B_n, B∨
n, C_n, C∨
n, BC_n, (BC_n, C_n), (C∨
n, BC_n), (B_n, B∨
n), (C∨
n, C_n), D_n.

応用

• Macdonald (1972) はアフィンルート系がマクドナルド恒等式を添え字付けることを示した．
• Bruhat & Tits (1972) はアフィンルート系を用いて p-進代数群を研究した．
• 被約アフィンルート系はアフィンカッツ・ムーディ代数を分類し，被約でないアフィンルート系はアフィンリー超代数と対応する．
• Macdonald (2003) はアフィンルート系がマクドナルド多項式の族を添え字付けることを示した．