j-invariant

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j-不変量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/26 02:30 UTC 版)

複素平面内のクラインの j-不変量

数学では複素変数 τ の函数であるフェリックス・クラインの j-不変量 (j-invariant)（もしくはj-函数）とは、複素数の上半平面上に定義された SL(2, Z) のウェイト 0 のモジュラー函数である。j-不変量として、尖点で一位の極を持つ以外は正則な関数であり、次を満たすものが一意に定まる。

${\displaystyle j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i)=1728}$

上半平面上に作用するモジュラ群の基本領域

2つの変換 τ → τ + 1 と τ → -τ⁻¹ はモジュラ群と呼ばれる群を生成し、この群は射影特殊線型群 PSL(2, Z) と同一視できる。この群に属する適当な変換

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$