偏微分方程式
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偏微分方程式（へんびぶんほうていしき、英: partial differential equation, PDE）は、未知関数の偏導関数を含む微分方程式である。
概要
偏微分方程式の厳密解を明示的な公式として得ることは、限られた場合を除いて困難である。そのため、解の存在性や一意性、正則性といった定性的な性質を研究する理論的アプローチ、近似的な解析解を求める摂動論や漸近解析、そしてコンピュータを使用して解を数値的に近似する手法が、それぞれ重要な役割を果たしている。偏微分方程式は純粋数学の研究においても大きな分野を占めており、そこでは存在性、一意性、正則性、安定性といった、様々な偏微分方程式の解の定性的な特徴に焦点が当てられている[1]。数多くの未解決問題の中には、2000年にミレニアム懸賞問題の一つとして挙げられた、ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさがある。
偏微分方程式は、物理学や工学といった数学指向の科学分野で広く現れる。例えば、音、熱、拡散、静電気学、電磁気学、熱力学、流体力学、弾性、一般相対性理論、量子力学（シュレーディンガー方程式、パウリ方程式など）の現代的な科学的理解において、偏微分方程式は基礎となっている。また、微分幾何学や変分法などの純粋な数学的考察からも発生する。特筆すべき応用として、幾何学的トポロジーにおけるポアンカレ予想の証明において基本的な道具となったことが挙げられる。現代では、画像処理、コンピュータビジョン、機械学習、金融工学などの分野でも偏微分方程式が重要な役割を果たしている。
このような発生源の多様性もあり、偏微分方程式の種類は広範囲にわたる。個々の方程式を扱うために、多くの異なる手法が開発されてきた。そのため、偏微分方程式の「万能な理論」は存在せず、専門知識はいくつかの異なる下位分野に分かれている[2]。
常微分方程式は、一変数関数に対応する偏微分方程式のサブクラスと見なすことができる。確率偏微分方程式や非局所方程式は、「PDE」の概念を拡張したものであり、広く研究されている。より古典的なトピックとして、現在も活発な研究が行われているものには、楕円型偏微分方程式、放物型偏微分方程式、流体力学におけるナビエ–ストークス方程式、ボルツマン方程式、分散型偏微分方程式などがある[3]。
歴史
偏微分方程式 (PDE) の歴史は、物理現象を数学的に記述しようとする試みと、それに伴う解析学の基礎概念（関数、微分、積分）の確立と密接に関わって発展してきた。
18世紀：
偏微分方程式の研究は、1740年代にニュートン力学を連続体へと拡張する過程で本格化した。中心となったのは「弦の振動」の問題である。ジャン・ル・ロン・ダランベールは1747年に一次元波動方程式を見出し、その一般解（ダランベールの解）を示した。直後にレオンハルト・オイラーやダニエル・ベルヌーイもこの問題に取り組み、解の表現（進行波による表現か、三角関数の重ね合わせか）を巡って論争が起きた。この論争は、当時の「関数」の定義（滑らかな曲線のみを指すのか、角を持つ折れ線も許容するのか）を再考させる契機となった。
また、流体力学や重力ポテンシャルの研究において、ピエール＝シモン・ラプラスはラプラス方程式を定式化し、これが楕円型偏微分方程式の原型となった。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュらは一階偏微分方程式の一般論を整備した。
19世紀：熱伝導とフーリエ解析
19世紀に入ると、ジョゼフ・フーリエによる熱伝導方程式の研究（1822年）が大きな転換点をもたらした。フーリエは、任意の関数を三角関数の級数（フーリエ級数）で表現できると主張し、これにより偏微分方程式を変数分離法で解く道が開かれた。これは同時に、不連続な関数を含む広範な対象を扱うための厳密な解析学（イプシロン-デルタ論法など）の整備を、ベルンハルト・リーマンやカール・ワイエルシュトラスらに促すこととなった。
19世紀後半には、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとソフィア・コワレフスカヤによって解の局所的な存在定理（コーシー＝コワレフスカヤの定理）が証明されたほか、ジョージ・グリーン、ガウス、ディリクレらによって、境界値問題（ポテンシャル論）の手法が飛躍的に発展した。
20世紀：現代理論の確立
20世紀初頭、ダフィット・ヒルベルトはヒルベルトの23の問題において、偏微分方程式の解の滑らかさや存在条件を主要な未解決問題として挙げた。これに応える形で、偏微分方程式論は「解を見つける」ことから「関数空間の構造を調べる」方向へと大きくシフトした。
古典的な微分が定義できないような現象（衝撃波など）や、不連続な境界値を持つ問題を扱うために、解の概念そのものを拡張する必要が生じた。1930年代以降、セルゲイ・ソボレフによるソボレフ空間の導入や、ローラン・シュヴァルツによる超関数（ディストリビューション）の理論により、「弱解」という概念が確立された。これにより、偏微分方程式は関数解析学の枠組みで統一的に扱われるようになり、現代の線形および非線形偏微分方程式の理論的基礎が完成した。
定義
偏微分方程式とは、
関連分野
研究者
日本
海外
脚注
- ↑ “Regularity and singularities in elliptic PDE's: beyond monotonicity formulas | EllipticPDE Project | Fact Sheet | H2020” (英語). CORDIS | European Commission. 2024年2月5日閲覧。
- ↑ Klainerman, Sergiu (2010). “PDE as a Unified Subject”. In Alon, N.; Bourgain, J.; Connes, A. et al.. Visions in Mathematics. Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser. pp. 279–315. doi:10.1007/978-3-0346-0422-2_10. ISBN 978-3-0346-0421-5
- ↑ Erdoğan, M. Burak; Tzirakis, Nikolaos (2016). Dispersive Partial Differential Equations: Wellposedness and Applications. London Mathematical Society Student Texts. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-14904-5
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- ↑ Roger Temam (1984): "Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis", ACM Chelsea Publishing.
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- ↑ The Nonlinear Schrödinger Equation (1999) -Self-Focusing and Wave Collapse-, Sulem, Catherine, Sulem, Pierre-Louis, Springer.
- ↑ The Nonlinear Schrödinger Equation -Singular Solutions and Optical Collapse- (2015), Gadi Fibich, Springer.
- 1 2 3 Levandosky, Julie. “Classification of Second-Order Equations”. 2026年2月5日閲覧。
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- ↑ 菊池文雄. (1994). 有限要素法の数理. 培風館.
- ↑ 田端正久; 偏微分方程式の数値解析, 2010. 岩波書店.
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- ↑ Zachmanoglou & Thoe 1986, pp. 115–116.
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- ↑ Solin, P. (2005). Partial Differential Equations and the Finite Element Method. Hoboken, New Jersey: J. Wiley & Sons. ISBN 0-471-72070-4
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参考文献
和書
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- K.E.グスタフソン：「応用偏微分方程式：近代的方法への入門」（上）、海外出版貿易（株）、ISBN 4-905557-02-X (1991年9月1日).
- K.E.グスタフソン：「応用偏微分方程式：近代的方法への入門」（下）、海外出版貿易（株）、ISBN 4-905557-03-8 (1992年9月1日).
- 金子晃：「偏微分方程式入門」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-062903-4 (1998年2月5日)。
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- 村田實、倉田和浩：「楕円型・放物型偏微分方程式」、岩波書店、ISBN 4-00-005650-6 (2006年5月10日). ※ 岩波オンデマンドブックス（2016/12）。
- 田端正久：「偏微分方程式の数値解析」、岩波書店、ISBN 978-4000059794（2010年12月22日).
- スタンリー・ファーロウ(著)、伊理正夫・伊理由美(訳)：「偏微分方程式 科学者・技術者のための使いかたと解き方」、朝倉書店。
- 中村宏樹：「偏微分方程式とフーリエ解析」、東京大学出版会 (東京大学基礎工学双書)。
- W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 I上」、産業図書（1978年7月28日）。
- W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 I下」、産業図書（1978年9月1日）。
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- 小薗英雄、小川卓克、三沢正史：「これからの非線形偏微分方程式」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78438-3 (2007年5月20日)。
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洋書
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- Logan, J. D. (2008): An introduction to nonlinear partial differential equations. John Wiley & Sons.
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- Fritz Schwarz: Loewy Decomposition of Linear Differential Equations, Springer, ISBN 978-3-7091-1286-1 (2012).
外部リンク
- Partial differential equation - ウェイバックマシン（2008年5月4日アーカイブ分） - スカラーペディア百科事典「偏微分方程式」の項目。
- Partial differential equationsのページへのリンク
