ユークリッド・オイラーの定理

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ユークリッド・オイラーの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/25 04:16 UTC 版)

ユークリッド・オイラーの定理（ゆーくりっどおいらーのていり、英: Euclid-Euler theorem）は、数学の整数論における偶数の完全数に関する必要十分条件を述べた定理である^[1] 。ここで完全数とは、自分以外の約数すべての和が自分自身に等しい整数のことである。例えば整数6は完全数で、1+2+3=6となっている。さらに、整数6は2の冪乗と素数3の積の形をしている。この事実を一般化して特徴つけた定理がユークリッド・オイラーの定理である。

ユークリッド・オイラーの定理の前半は、ユークリッドが示した偶数の完全数に関する以下の十分条件である。

• $2^{n}-1$が素数ならば、${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$は偶数の完全数である。

ユークリッド・オイラーの定理の後半は、オイラーが示した偶数の完全数に関する以下の必要条件である。

• 偶数の完全数は、$2^{n}-1$が素数で、${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$の形をしている。

ちなみに完全数については、偶数の完全数が無数にあるかどうか、奇数の完全数が１つでも存在するかどうかは未解決問題である。

約数関数

ユークリッド・オイラーの定理の証明に必要な概念をまとめておく。 整数$x$の約数関数$\sigma (x)$の定義は次の通りである。

$\sigma (x)$=整数$x$のすべての約数の和

例えば${\displaystyle \sigma (6)}$=1+2+3+6=12である。

整数$x$の約数関数$\sigma (x)$の基本的性質は次の通りである。

• $x$が完全数ならば、${\displaystyle \sigma (x)=x+x=2x}$である。

• $x$が素数ならば、${\displaystyle \sigma (x)=1+x}$である。

• $x$が2の冪乗ならば、${\displaystyle \sigma (2^{n-1})=1+2+2^{2}+...+2^{n-1}=2^{n}-1}$である。

• $x$と$y$が互いに素ならば、${\displaystyle \sigma (xy)=\sigma (x)\sigma (y)}$である。

ユークリッドの十分条件

$2^{n}-1$が素数ならば、${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$は偶数の完全数であるという証明は以下の通りである。ここでは、２の冪乗$2^{n-1}$と素数$2^{n}-1$は互いに素であること、${\displaystyle \sigma (x)=2x}$ならば$x$は完全数であることを利用している。

${\displaystyle \sigma (2^{n-1}(2^{n}-1))=\sigma (2^{n-1})\sigma (2^{n}-1)=(2^{n}-1)(1+2^{n}-1)=2^{n}(2^{n}-1).}$

オイラーの必要条件

偶数の完全数は、$2^{n}-1$が素数で、${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$の形をしているという証明は以下の通りである。ここでは、${\displaystyle \sigma (x)=x+1}$ならば、$x$は素数であるという性質を利用している。

偶数の完全数を${\displaystyle 2^{n-1}x}$とする。ただし$x$は約数２を持たない整数とする。 ${\displaystyle 2^{n-1}x}$は完全数なので、

${\displaystyle 2^{n}x=\sigma (2^{n-1}x)=\sigma (2^{n-1})\sigma (x)=(2^{n}-1)\sigma (x)}$である。

ここで$2^{n}-1$で割り算をすると、 ${\displaystyle \sigma (x)=x+x/(2^{n}-1)}$である。

$\sigma (x)$も$x$も整数なので、その差は整数dで表せる。

${\displaystyle \sigma (x)=x+x/(2^{n}-1)=x+d.}$

しかしdは$x$の約数でもある。ここで${\displaystyle d\neq 1}$とすると、整数1は必ず$x$の約数なので、

${\displaystyle \sigma (x)=x+d+1}$となり、${\displaystyle \sigma (x)=x+d}$という事実と矛盾する。

したがって、$d=1$で、${\displaystyle \sigma (x)=x+1}$で、${\displaystyle x=2^{n}-1}$である。 つまり${\displaystyle x=2^{n}-1}$は素数である。

すなわち偶数の完全数は、 $2^{n}-1$が素数で、${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$の形をしている。

出典

1. ^ Voight, J.; "Perfect numbers: an elementary introduction (1998)