スクイーズド状態 （スクイーズドじょうたい）とは、量子雑音（英語版 ） を圧搾した状態のこと。
定義 スクイーズド状態 は、コヒーレント状態
|
α
⟩
{\displaystyle |\alpha \rangle }
スクイーズ演算子
S
^
(
ζ
)
{\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )}
ユニタリー演算子 を作用させた状態として定義される。これはコヒーレントスクイーズド状態 とも呼ばれる。あるいは量子光学などでは直交位相スクイーズド状態 とも呼ばれる [1] [2]
|
α
:
ζ
⟩
=
S
^
(
ζ
)
D
^
(
α
)
|
0
⟩
{\displaystyle |\alpha :\zeta \rangle ={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle }
S
^
(
ζ
)
≡
exp
[
ζ
∗
a
^
2
−
ζ
(
a
^
†
)
2
2
]
{\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )\equiv \exp {\bigg [}{\frac {\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta ({\hat {a}}^{\dagger })^{2}}{2}}{\bigg ]}}
ここで
ζ
{\displaystyle \zeta }
ζ
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle \zeta =re^{i\phi }}
r
{\displaystyle r}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ζ
{\displaystyle \zeta }
α
{\displaystyle \alpha }
a
^
{\displaystyle {\hat {a}}}
あるいは真空スクイーズド状態
S
^
(
ζ
)
|
0
⟩
{\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )|0\rangle }
変位演算子
D
^
(
α
)
{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )}
|
α
:
ζ
⟩
=
D
^
(
α
)
S
^
(
ζ
)
|
0
⟩
{\displaystyle |\alpha :\zeta \rangle ={\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )|0\rangle }
ただしスクイーズ演算子と変位演算子は可換 ではないため、これら2つのスクイーズド状態は異なることに注意。
またスクイーズド状態は、生成消滅演算子
a
^
{\displaystyle {\hat {a}}}
a
^
†
{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}
b
^
≡
μ
a
^
+
ν
a
^
†
{\displaystyle {\hat {b}}\equiv \mu {\hat {a}}+\nu {\hat {a}}^{\dagger }}
b
^
†
≡
μ
∗
a
^
†
+
ν
∗
a
^
{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }\equiv \mu ^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+\nu ^{*}{\hat {a}}}
で得られる演算子
b
^
{\displaystyle {\hat {b}}}
|
β
:
μ
,
ν
⟩
{\displaystyle |\beta :\mu ,\nu \rangle }
b
^
|
β
:
μ
,
ν
⟩
=
β
|
β
:
μ
,
ν
⟩
{\displaystyle {\hat {b}}|\beta :\mu ,\nu \rangle =\beta |\beta :\mu ,\nu \rangle }
ただし
μ
=
cosh
r
{\displaystyle \mu =\cosh r}
ν
=
sinh
r
e
−
2
i
ϕ
{\displaystyle \nu =\sinh re^{-2i\phi }}
|
μ
|
2
−
|
ν
|
2
=
1
{\displaystyle |\mu |^{2}-|\nu |^{2}=1}
いずれにしてもスクイーズド状態は3つの量で指定される。この演算子
b
^
{\displaystyle {\hat {b}}}
b
^
†
{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}
[
b
^
,
b
^
†
]
=
1
{\displaystyle [{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}
スクイーズド状態の直交性や完全性の性質は、コヒーレント状態と同じである。すなわち非直交であり、過剰完全である。
真空スクイーズド状態 真空スクイーズド状態
|
r
,
ϕ
⟩
≡
S
^
(
r
,
ϕ
)
|
0
⟩
{\displaystyle |r,\phi \rangle \equiv {\hat {S}}(r,\phi )|0\rangle }
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
|
r
,
ϕ
⟩
=
1
cosh
r
∑
n
(
−
tanh
r
e
−
2
i
ϕ
2
)
n
(
2
n
)
!
n
!
|
2
n
⟩
{\displaystyle |r,\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {\cosh r}}}\sum _{n}{\bigg (}{\frac {-\tanh re^{-2i\phi }}{2}}{\bigg )}^{n}{\frac {\sqrt {(2n)!}}{n!}}|2n\rangle }
よって
|
r
,
ϕ
⟩
{\displaystyle |r,\phi \rangle }
真空スクイーズド状態の粒子数は
N
r
=
(
sinh
r
)
2
{\displaystyle N_{r}=(\sinh r)^{2}}
となり、
r
{\displaystyle r}
|
⟨
0
|
r
,
ϕ
⟩
|
2
=
1
cosh
r
=
exp
[
−
1
2
log
(
1
+
N
r
)
]
≤
1
{\displaystyle |\langle 0|r,\phi \rangle |^{2}={\frac {1}{\cosh r}}=\exp {\bigg [}-{\frac {1}{2}}\log(1+N_{r}){\bigg ]}\leq 1}
であることから、
r
{\displaystyle r}
直交位相振幅 生成消滅演算子を以下のように実部と虚部に分ける。
a
^
=
a
^
1
+
i
a
^
2
{\displaystyle {\hat {a}}={\hat {a}}_{1}+i{\hat {a}}_{2}}
a
^
†
=
a
^
1
−
i
a
^
2
{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\hat {a}}_{1}-i{\hat {a}}_{2}}
この
a
^
1
{\displaystyle {\hat {a}}_{1}}
a
^
2
{\displaystyle {\hat {a}}_{2}}
直交位相成分 と呼び、これらは交換関係
[
a
^
1
,
a
^
2
]
=
i
/
2
{\displaystyle [{\hat {a}}_{1},{\hat {a}}_{2}]=i/2}
スクイーズド状態における直交位相振幅の平均値は以下のようになる。
⟨
a
^
1
⟩
=
R
e
[
α
cosh
2
r
−
α
∗
e
i
ϕ
sinh
2
r
]
{\displaystyle \langle {\hat {a}}_{1}\rangle =Re[\alpha \cosh 2r-\alpha ^{*}e^{i\phi }\sinh 2r]}
⟨
a
^
2
⟩
=
I
m
[
α
cosh
2
r
−
α
∗
e
i
ϕ
sinh
2
r
]
{\displaystyle \langle {\hat {a}}_{2}\rangle =Im[\alpha \cosh 2r-\alpha ^{*}e^{i\phi }\sinh 2r]}
直交位相振幅の分散については、
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
⟨
(
Δ
a
^
1
)
2
⟩
=
e
−
2
r
4
{\displaystyle \langle (\Delta {\hat {a}}_{1})^{2}\rangle ={\frac {e^{-2r}}{4}}}
⟨
(
Δ
a
^
2
)
2
⟩
=
e
2
r
4
{\displaystyle \langle (\Delta {\hat {a}}_{2})^{2}\rangle ={\frac {e^{2r}}{4}}}
また
ϕ
=
π
/
2
{\displaystyle \phi =\pi /2}
⟨
(
Δ
a
^
1
)
2
⟩
=
e
2
r
4
{\displaystyle \langle (\Delta {\hat {a}}_{1})^{2}\rangle ={\frac {e^{2r}}{4}}}
⟨
(
Δ
a
^
2
)
2
⟩
=
e
−
2
r
4
{\displaystyle \langle (\Delta {\hat {a}}_{2})^{2}\rangle ={\frac {e^{-2r}}{4}}}
よってコヒーレント状態の分散
⟨
(
Δ
a
^
1
)
2
⟩
=
⟨
(
Δ
a
^
2
)
2
⟩
=
1
/
4
{\displaystyle \langle (\Delta {\hat {a}}_{1})^{2}\rangle =\langle (\Delta {\hat {a}}_{2})^{2}\rangle =1/4}
e
2
r
{\displaystyle e^{2r}}
e
−
2
r
{\displaystyle e^{-2r}}
⟨
(
Δ
a
^
1
)
2
⟩
⋅
⟨
(
Δ
a
^
2
)
2
⟩
=
1
/
16
{\displaystyle \langle (\Delta {\hat {a}}_{1})^{2}\rangle \cdot \langle (\Delta {\hat {a}}_{2})^{2}\rangle =1/16}
脚注 参考文献 関連項目
![{\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )\equiv \exp {\bigg [}{\frac {\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta ({\hat {a}}^{\dagger })^{2}}{2}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2ab3551606aa8cc9208213fd2998b31e60fd82)
![{\displaystyle [{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5204da165171b79bb16644d1588e9092aae7f783)
![{\displaystyle |\langle 0|r,\phi \rangle |^{2}={\frac {1}{\cosh r}}=\exp {\bigg [}-{\frac {1}{2}}\log(1+N_{r}){\bigg ]}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7477068090e1ea0ead8efdd7d6e5cbcf43d0e181)
![{\displaystyle [{\hat {a}}_{1},{\hat {a}}_{2}]=i/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc9108f7d50659d6860b8e4a91f7b75989ff1a5)
![{\displaystyle \langle {\hat {a}}_{1}\rangle =Re[\alpha \cosh 2r-\alpha ^{*}e^{i\phi }\sinh 2r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc07ea5b7b30b968889a8f9193a03a747f33b51)
![{\displaystyle \langle {\hat {a}}_{2}\rangle =Im[\alpha \cosh 2r-\alpha ^{*}e^{i\phi }\sinh 2r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef085c1ac06670970184293f51153f3c723ce04)
