B-スプライン曲線 ノットベクトルの作り方

ウィキペディア

B-スプライン曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/02 07:14 UTC 版)

ノットベクトルの作り方

ノットベクトルの作り方には色々な方法がある。

一様ノットベクトル

一様ノットベクトル（uniform knot vector）とは以下のようにノットを定義する。均等間隔で埋めたもの。

$t_{j}=t_{0}+{\frac {t_{m-1}-t_{0}}{m-1}}j$

開一様ノットベクトル

開一様ノットベクトル（open uniform knot vector）や一様間隔ノットベクトル（uniformly-spaced knot vector）と呼ばれる下記の方法で作る方法。

• 最初の $n+1$ 個は 0 とする。
• 最後の $n+1$ 個は 1 とする。
• 残りの $m-2(n+1)$ 個は 0 より大きく 1 より小さい値で均等間隔で埋める。

例えば、n = 2, m = 7 の場合は制御点は4個でノットベクトルは $[0\ 0\ 0\ 0.5\ 1\ 1\ 1]$ である。このノットベクトルの作り方では、曲線の端点は最初と最後の制御点になる。また、制御点の数が $n+1$ 個の場合はn次ベジェ曲線と同一になる。

制御点と曲線

基本的に曲線は制御点を通らないが、例えば

$t_{0}=t_{1}=t_{2}=0$

のように連続した複数のノットに対し、同一の値を与えることで、対応する制御点に曲線を通すことができる。 2次B-スプライン曲線の場合、以下のようになり、曲線の始点が0番目の制御点と一致する。

$\mathbf {S} (0)=\mathbf {P} _{0}$.

ノットベクトルの最初の n + 1 個と、最後の n + 1 個を同一にすることで、曲線の端点は最初と最後の制御点になり、固定（clamped）される。