p進閉体とは？わかりやすく解説

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p進閉体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/23 00:04 UTC 版)

数学における $p$ -進閉体（pしんへいたい、英: $p$ -adically closed field）は、ちょうど形式的に実な体が実閉（英語版）であることの $p$ -進的な対応物として、適当な拡大性質で閉じている。この概念は Ax & Kochen (1965) が導入した。

注釈

^ ここで言う「剰余体」は、付値体 $(F, w)$ の付値環 ${x \in F | w (x) \geq 0}$ （これは局所環である）の、その唯一の極大イデアル ${x \in F | w (x) > 0}$ による剰余環（極大イデアルで割ったので体を成す）の意味で用いている
^ $K$ の値群は $F$ の値群よりも大きくなり得る。それは $F$ の値群上無限に大きい元を含むことができる。
^ これらの仮定を $q = π = p$ を付値 $1$ の素数として有理数体はすべて満足する
^ ここでは意図的に $Q$ 上の $p$ -進付値に関する場合に限ることとする

出典

^ Jarden & Roquette 1980, lemma 4.1.

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