k > n/p
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/21 17:29 UTC 版)
この場合、u はヘルダー空間に属する。より正確に言うと、 u ∈ C k − [ n / p ] − 1 , γ ( U ) , {\displaystyle u\in C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U),} が成り立つ。ここで γ = { [ n / p ] + 1 − n / p n / p ∉ Z any element in ( 0 , 1 ) n / p ∈ Z {\displaystyle \gamma ={\begin{cases}[n/p]+1-n/p&n/p\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&n/p\in \mathbf {Z} \end{cases}}} である。さらに次の不等式が成り立つ。 ‖ u ‖ C k − [ n / p ] − 1 , γ ( U ) ≤ C ‖ u ‖ W k , p ( U ) . {\displaystyle \|u\|_{C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}.} ここで定数 C は k, p, n, γ と U にのみ依存する。
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k < n/p
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この場合、u ∈ Lq(U) である。但し 1 q := 1 p − k n {\displaystyle {\frac {1}{q}}:={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}} である。さらに次の評価が成り立つ。 ‖ u ‖ L q ( U ) ≤ C ‖ u ‖ W k , p ( U ) {\displaystyle \|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}} この定数 C は k, p, n と U にのみ依存する。
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